Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Trong thống kê toán học, phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức là hai khái niệm cơ bản và quan trọng, thường được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng ngẫu nhiên có tính chất rời rạc. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về hai phân bố này, bao gồm định nghĩa, tính chất, ví dụ minh họa và ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.

I. Phân bố Bernoulli

1. Định nghĩa: Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

2. Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của phân bố Bernoulli được định nghĩa như sau:

P(X = 1) = p (xác suất thành công)
P(X = 0) = 1 - p (xác suất thất bại)

3. Các đặc trưng của phân bố Bernoulli:

Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
Phương sai: Var(X) = p(1 - p)

4. Ví dụ minh họa: Xét một lần tung đồng xu. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

II. Phân bố nhị thức

1. Định nghĩa: Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Số lần thành công được ký hiệu là X.

2. Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của phân bố nhị thức được định nghĩa như sau:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó:

C_n^k là tổ hợp chập k của n
p là xác suất thành công trong mỗi thử nghiệm
n là số lượng thử nghiệm

3. Các đặc trưng của phân bố nhị thức:

Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
Phương sai: Var(X) = np(1 - p)

4. Ví dụ minh họa: Xét việc tung đồng xu 10 lần. Giả sử xác suất xuất hiện mặt ngửa là p = 0.5. Phân bố nhị thức mô tả số lần xuất hiện mặt ngửa trong 10 lần tung.

III. Mối liên hệ giữa phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến ngẫu nhiên có xác suất thành công là p. Nói cách khác, nếu X₁, X₂, ..., X_n là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với xác suất thành công là p, thì tổng S = X₁ + X₂ + ... + X_n tuân theo phân bố nhị thức với các tham số n và p.

IV. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Kiểm định chất lượng: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
Marketing: Phân tích tỷ lệ chuyển đổi của một chiến dịch quảng cáo.

V. Bài tập vận dụng (tham khảo Toán 12 Cánh Diều)

Để củng cố kiến thức về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức, bạn có thể tham khảo các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 Cánh Diều. Các bài tập này sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu sâu hơn về hai phân bố này.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc bạn học tập tốt!