Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ về các số đặc trưng đo mức độ phân tán là vô cùng quan trọng. Phương sai và độ lệch chuẩn là hai trong số những khái niệm cốt lõi giúp chúng ta đánh giá sự biến thiên của một tập dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết và phương pháp tính toán phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm theo SGK Toán 12 - Cánh diều.

I. Khái niệm về mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng giá trị dữ liệu thuộc về khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn điểm thi của học sinh trong một lớp, với các khoảng điểm như [0-5), [5-7), [7-8), [8-10) và tần số tương ứng.

II. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (variance) là một số đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Nó cho biết mức độ các giá trị dữ liệu khác nhau so với giá trị trung bình. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s² = Σ[(x_i - x̄)² * n_i] / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
• n_i là tần số của khoảng thứ i
• n là tổng số lượng dữ liệu (n = Σn_i)

III. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng là một số đo mức độ phân tán, nhưng có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s = √(s²)

IV. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số sau:

Để tính phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính trung điểm của mỗi khoảng: x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5, x₄ = 7
2. Tính trung bình cộng: x̄ = (1*5 + 3*8 + 5*12 + 7*7) / (5+8+12+7) = 4.625
3. Tính phương sai: s² = [(1-4.625)²*5 + (3-4.625)²*8 + (5-4.625)²*12 + (7-4.625)²*7] / (32-1) = 4.84
4. Tính độ lệch chuẩn: s = √4.84 = 2.2

V. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Đánh giá rủi ro trong tài chính
• Kiểm soát chất lượng trong sản xuất
• Phân tích dữ liệu trong khoa học

VI. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số sau...
• Bài 2: Một công ty sản xuất bóng đèn kiểm tra chất lượng sản phẩm bằng cách lấy mẫu 100 bóng đèn và ghi lại thời gian sử dụng của chúng...

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc bạn học tập tốt!