Lý thuyết Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều
Lý thuyết Phương sai, Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình thống kê, giúp bạn hiểu rõ hơn về mức độ phân tán của dữ liệu.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về phương sai, độ lệch chuẩn, cách tính toán và ứng dụng của chúng trong việc phân tích dữ liệu thống kê.
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho trong bảng sau:
\[{s^2} = \frac{{{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {n_m}{{({x_m} - \overline x )}^2}}}{n}\] được gọi là phương sai của mấu số liệu đó. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} .\) |
2. Ý nghĩa
- Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc, dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với mẫu số liệu
- Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ bằng nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó thấp hơn
Ví dụ: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 ngày theo mỗi lĩnh vực có kết quả như sau:
So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?
Giải:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{1}{{60}}(5.7,5 + ... + 5.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
\(\overline {{x_B}} = \frac{1}{{60}}(20.7,5 + ... + 20.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau.
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\({s_A} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(5.7,{5^2} + ... + 5.27,{5^2} - 17,{5^2}} = 5\)
\({s_B} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(20.7,{5^2} + ... + 20.27,{5^2} - 17,{5^2}} \approx 8,42.\)
Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là “rủi ro” hơn.
Lý thuyết Phương sai, Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều
Trong chương trình Toán 12, phần thống kê đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu và phân tích dữ liệu. Một trong những khái niệm cốt lõi của phần này là Phương sai và Độ lệch chuẩn. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết Phương sai, Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, theo chương trình Cánh Diều, cung cấp kiến thức chi tiết và dễ hiểu.
1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?
Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc nhóm. Mỗi nhóm đại diện cho một khoảng giá trị, và số lượng dữ liệu trong mỗi nhóm được gọi là tần số.
2. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Phương sai (Variance) là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
S2 = Σ(fi * (xi - x̄)2) / (n - 1)
Trong đó:
- S2: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
- fi: Tần số của nhóm thứ i
- xi: Trung điểm của nhóm thứ i
- x̄: Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
- n: Tổng số lượng dữ liệu trong mẫu
3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
S = √(S2)
Trong đó:
- S: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
- S2: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
4. Cách tính trung điểm của nhóm (xi)
Trung điểm của nhóm (xi) được tính bằng công thức:
xi = (Giới hạn dưới + Giới hạn trên) / 2
5. Cách tính giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (x̄)
Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (x̄) được tính bằng công thức:
x̄ = Σ(fi * xi) / n
6. Ví dụ minh họa
Giả sử chúng ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Khoảng giá trị | Tần số (fi) |
|---|---|
| [0 - 10) | 5 |
| [10 - 20) | 8 |
| [20 - 30) | 7 |
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này.
- Tính trung điểm của mỗi khoảng giá trị:
- x1 = (0 + 10) / 2 = 5
- x2 = (10 + 20) / 2 = 15
- x3 = (20 + 30) / 2 = 25
- Tính giá trị trung bình:
x̄ = (5 * 5 + 8 * 15 + 7 * 25) / (5 + 8 + 7) = (25 + 120 + 175) / 20 = 320 / 20 = 16
- Tính phương sai:
S2 = (5 * (5 - 16)2 + 8 * (15 - 16)2 + 7 * (25 - 16)2) / (20 - 1) = (5 * 121 + 8 * 1 + 7 * 81) / 19 = (605 + 8 + 567) / 19 = 1180 / 19 ≈ 62.11
- Tính độ lệch chuẩn:
S = √(62.11) ≈ 7.88
7. Ứng dụng của Phương sai và Độ lệch chuẩn
Phương sai và Độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
- Thống kê học: Đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu, so sánh sự biến động giữa các tập dữ liệu.
- Tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
- Khoa học: Phân tích kết quả thí nghiệm, đánh giá độ tin cậy của các phép đo.
- Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm, đánh giá độ ổn định của hệ thống.
8. Lưu ý khi tính toán
Khi tính toán phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, cần lưu ý:
- Sử dụng đúng công thức.
- Tính toán chính xác trung điểm của mỗi khoảng giá trị.
- Tính toán chính xác giá trị trung bình.
- Chú ý đến đơn vị của dữ liệu.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Phương sai, Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
