Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị - Toán 12 Cánh Diều

Bài 1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Giải chi tiết

Trong thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu là vô cùng quan trọng. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là hai trong số những số đặc trưng quan trọng nhất để đánh giá sự phân tán này. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về cách tính toán và ứng dụng của chúng trong bối cảnh mẫu số liệu ghép nhóm, dựa trên sách giáo khoa Toán 12 Cánh Diều tập 1.

1. Khái niệm về mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng (nhóm) khác nhau. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng dữ liệu thuộc về khoảng đó. Việc sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm thường được thực hiện khi số lượng dữ liệu lớn và việc xử lý dữ liệu gốc trở nên phức tạp.

2. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta ước lượng khoảng biến thiên bằng cách sử dụng các cận của khoảng chứa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Công thức tính khoảng biến thiên (R) như sau:

R = X_max - X_min

Trong đó:

X_max: Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu
X_min: Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu

Ví dụ: Nếu mẫu số liệu ghép nhóm có các khoảng [10-20), [20-30), [30-40) và giá trị lớn nhất là 40, giá trị nhỏ nhất là 10, thì khoảng biến thiên là 40 - 10 = 30.

3. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)

Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q₃) và tứ phân vị thứ nhất (Q₁). Nó đo lường sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm trong tập dữ liệu.

Để tính khoảng tứ phân vị, chúng ta cần xác định Q₁ và Q₃.

Tứ phân vị thứ nhất (Q₁): Là giá trị phân chia 25% dữ liệu nhỏ nhất trong tập dữ liệu.
Tứ phân vị thứ ba (Q₃): Là giá trị phân chia 75% dữ liệu nhỏ nhất trong tập dữ liệu.

Công thức tính khoảng tứ phân vị (IQR) như sau:

IQR = Q₃ - Q₁

4. Cách tính Q₁ và Q₃ cho mẫu số liệu ghép nhóm

Để tính Q₁ và Q₃ cho mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sử dụng công thức sau:

Q_i = L_i + [(n/4)i - F_trước] * w

Trong đó:

Q_i: Tứ phân vị thứ i (i = 1, 3)
L_i: Cận dưới của khoảng chứa Q_i
n: Tổng tần số
F_trước: Tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa Q_i
w: Khoảng lớp (hiệu giữa cận trên và cận dưới của mỗi khoảng)

5. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng	Tần số (f)	Tần số tích lũy (F)
[0-10)	5	5
[10-20)	10	15
[20-30)	15	30
[30-40)	20	50

Tổng tần số n = 50.

Tính Q₁:

Q₁ nằm trong khoảng [0-10). L₁ = 0, F_trước = 0, w = 10.

Q₁ = 0 + [(50/4)*1 - 0] * 10 = 0 + (12.5) * 10 = 125. Tuy nhiên, vì Q₁ phải nằm trong khoảng [0-10), nên có thể có sai sót trong tính toán hoặc dữ liệu. Chúng ta cần xem xét lại cách tính và đảm bảo rằng các giá trị được sử dụng là chính xác.

Tính Q₃:

Q₃ nằm trong khoảng [20-30). L₃ = 20, F_trước = 15, w = 10.

Q₃ = 20 + [(50/4)*3 - 15] * 10 = 20 + (37.5 - 15) * 10 = 20 + 22.5 * 10 = 245. Tương tự như Q₁, giá trị này nằm ngoài khoảng [20-30), cần kiểm tra lại.

Lưu ý: Trong thực tế, việc tính toán Q₁ và Q₃ cho mẫu số liệu ghép nhóm có thể phức tạp và đòi hỏi sự cẩn thận để đảm bảo tính chính xác. Các công thức trên chỉ là một hướng dẫn chung và có thể cần được điều chỉnh tùy thuộc vào đặc điểm của từng tập dữ liệu.

6. Ứng dụng của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Thống kê mô tả: Để tóm tắt và mô tả sự phân tán của dữ liệu.
Phân tích dữ liệu: Để so sánh sự phân tán của các tập dữ liệu khác nhau.
Kiểm soát chất lượng: Để theo dõi và kiểm soát sự biến động của các quy trình sản xuất.
Tài chính: Để đánh giá rủi ro và biến động của các khoản đầu tư.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em một cái nhìn toàn diện về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!