Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều
Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị Toán 12 Cánh Diều
Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, những khái niệm quan trọng trong thống kê và phân tích dữ liệu. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách tính toán và ứng dụng các khái niệm này vào giải quyết các bài toán thực tế trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.
Nội dung bài học được trình bày một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, giúp học sinh nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
1. Khoảng biến thiên a) Định nghĩa
1. Khoảng biến thiên
a) Định nghĩa
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho trong bảng sau, trong đó \({n_1} > 0\) và \({n_m} > 0\). Gọi \({a_1},{a_{m + 1}}\) lần lượt là đầu mút trái của nhóm 1, đầu mút phải của nhóm m. Hiệu \(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\) được gọi là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó |
b) Ý nghĩa
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán của mẫu số đó. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán
- Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị của mẫu số liệu nên đại lượng đó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
2. Khoảng tứ phân vị
a) Định nghĩa
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau Gọi \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Ta gọi hiệu \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. |
b) Ý nghĩa
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết các giá trị bất thường của mẫu số liệu và nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường đó.
Lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều
Trong thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu là vô cùng quan trọng. Khoảng biến thiên (Range) và khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR) là hai số đo độ phân tán thường được sử dụng để đánh giá sự biến động của dữ liệu. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết và cách tính toán hai đại lượng này trong bối cảnh mẫu số liệu ghép nhóm, theo chương trình Toán 12 Cánh Diều.
1. Khoảng biến thiên (Range)
Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một tập dữ liệu. Nó cho biết phạm vi mà các giá trị dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên:
R = Xmax - Xmin
Trong đó:
- R là khoảng biến thiên
- Xmax là giá trị lớn nhất trong tập dữ liệu
- Xmin là giá trị nhỏ nhất trong tập dữ liệu
Ví dụ: Cho một mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
| Khảng | Tần số (ni) |
|---|---|
| [10, 20) | 5 |
| [20, 30) | 10 |
| [30, 40) | 7 |
| [40, 50) | 3 |
Giá trị nhỏ nhất là 10 và giá trị lớn nhất là 50 (tính gần đúng). Vậy khoảng biến thiên là: R = 50 - 10 = 40.
2. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)
Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). Nó đo lường độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Công thức tính khoảng tứ phân vị:
IQR = Q3 - Q1
Để tính khoảng tứ phân vị, trước tiên chúng ta cần tìm Q1 và Q3.
- Tứ phân vị thứ nhất (Q1): Giá trị phân chia phần 25% dữ liệu nhỏ nhất với phần 75% dữ liệu còn lại.
- Tứ phân vị thứ ba (Q3): Giá trị phân chia phần 75% dữ liệu nhỏ nhất với phần 25% dữ liệu còn lại.
Cách tính Q1 và Q3 cho mẫu số liệu ghép nhóm:
- Tính cỡ mẫu: N = ∑ni
- Tính vị trí của Q1: P1 = N/4
- Xác định khoảng chứa Q1: Khoảng chứa Q1 là khoảng mà P1 thuộc về.
- Tính Q1 theo công thức: Q1 = a1 + [(P1 - F1)/n1] * h1, trong đó a1 là cận dưới của khoảng chứa Q1, F1 là tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa Q1, n1 là tần số của khoảng chứa Q1, h1 là độ rộng của khoảng chứa Q1.
- Tương tự, tính vị trí của Q3: P3 = 3N/4
- Xác định khoảng chứa Q3 và tính Q3.
Ví dụ (tiếp tục ví dụ trên):
N = 5 + 10 + 7 + 3 = 25
P1 = 25/4 = 6.25
Khoảng chứa Q1 là [20, 30) (vì 6.25 thuộc khoảng này).
Q1 = 20 + [(6.25 - 5)/10] * 10 = 20 + 1.25 = 21.25
P3 = 3 * 25 / 4 = 18.75
Khoảng chứa Q3 là [30, 40) (vì 18.75 thuộc khoảng này).
Q3 = 30 + [(18.75 - 12)/7] * 10 = 30 + (6.75/7) * 10 ≈ 39.64
Vậy, IQR = Q3 - Q1 ≈ 39.64 - 21.25 = 18.39
3. Ý nghĩa của Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị
Khoảng biến thiên cho biết phạm vi rộng của dữ liệu, nhưng nó dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ. Khoảng tứ phân vị, ngược lại, ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn, do đó nó là một số đo độ phân tán ổn định hơn. Việc sử dụng cả hai số đo này giúp chúng ta có cái nhìn toàn diện hơn về sự phân tán của dữ liệu.
4. Ứng dụng
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
- Thống kê mô tả: Tóm tắt và mô tả các đặc điểm chính của một tập dữ liệu.
- Phân tích dữ liệu: So sánh sự phân tán của các tập dữ liệu khác nhau.
- Kiểm soát chất lượng: Theo dõi sự biến động của các quy trình sản xuất.
- Tài chính: Đánh giá rủi ro của các khoản đầu tư.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cánh Diều. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thống kê một cách hiệu quả hơn.
