THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp phương pháp giải bài tập rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Ở nhiệt độ (37^circ C), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: (A to B). Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ({L^{ - 1}})) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với (x ge 0), thỏa mãn hệ thức (y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)) với (x ge 0). Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ({L^{ - 1}}). a) Xét hàm số (f(x) = ln y(x)) với (x ge 0). Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x) b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất
Đề bài
Ở nhiệt độ \(37^\circ C\), một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: \(A \to B\). Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol \({L^{ - 1}}\)) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với \(x \ge 0\), thỏa mãn hệ thức \(y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)\) với \(x \ge 0\). Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol \({L^{ - 1}}\).
a) Xét hàm số \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \ge 0\). Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x)
b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol \({L^{ - 1}}\)) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {y(x)dx} \). Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Biến đổi hàm số cho thích hợp
b) Xác định hàm số y(x) rồi tính tích phân
Lời giải chi tiết
a) \(f(x) = \ln y(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{{y'(x)}}{{y(x)}} = \frac{{ - {{7.10}^{ - 4}}y(x)}}{{y(x)}} = - {7.10^{ - 4}}\).
\( \Rightarrow f(x) = \int {f'(x)dx} = \int { - {{7.10}^{ - 4}}dx} = - {7.10^{ - 4}}x + C\).
Vì \(f(x) = \ln y(x)\) nên \(y(x) = {e^{f(x)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + C}}\).
Theo đề bài, tại x = 0 thì y(x) = 0,05 nên:
\(y(0) = 0,05 \Leftrightarrow {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.0 + C}} = 0,05 \Leftrightarrow {e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05\).
Vậy \(f(x) = - {7.10^{ - 4}}x + \ln 0,05\).
b) Từ câu a) ta đã tính được \(y(x) = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}\).
Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây:
\(\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y(x)dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{e^{\ln 0,05}}dx} \)
\( = \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}dx} = \frac{1}{{300}}\int\limits_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}dx} = \frac{1}{{300}}.\frac{{{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right.\)
\( = \frac{1}{{300\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}.{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 100}}{{21}}\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}}} \right) \approx 0,049\) (mol \({L^{ - 1}}\)).
Bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, từ đó xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều:
(Đề bài cụ thể của bài tập 9 sẽ được chèn vào đây)
Để giải bài tập về cực trị hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước tính toán, giải thích và kết luận)
Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải bài tập về cực trị hàm số, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ minh họa sau:
Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm một số bài tập tương tự sau:
Khi giải bài tập về cực trị hàm số, bạn cần lưu ý một số điểm sau:
Việc giải bài tập về cực trị hàm số có nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn như:
Bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày ở trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
