THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 1, thuộc chương trình Toán 12 Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) (fleft( x right) = {x^3} - frac{3}{2}{x^2}) trên đoạn (left[ { - 1;2} right]) b) (fleft( x right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1) trên đoạn (left[ { - 1;1} right]) c) (fleft( x right) = {e^x}left( {{x^2} - 5x + 7} right)) trên đoạn (left[ {0;3} right]) d) (fleft( x right) = cos 2x + 2x + 1) trên đoạn (left[ {frac{{ - pi }}{2};pi } right])
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)
b) \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)
c) \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)
d) \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\pi } \right]\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
B2: Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)\).
B3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3x\).
Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{2};f\left( 0 \right) = 0;f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2};f\left( 2 \right) = 2\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{ - 5}}{2}\) khi \(x = - 1\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2\) khi \(x = 2\) .
b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2} + 2x\).
Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( { - 1} \right) = 5;f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{{16}};f\left( 1 \right) = 1\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(1\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\) và có giá trị lớn nhất bằng \(5\) khi \(x = - 1\).
c) Ta có: \(f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\).
Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( 2 \right) = {e^2};f\left( 0 \right) = 7;f\left( 3 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = 3e\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(7\) khi \(x = 0\) và có giá trị lớn nhất bằng \({e^3}\) khi \(x = 3\).
d) Ta có: \(f'\left( x \right) = - 2\sin 2x + 2\).
Nhận xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\).
Ta có \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \pi ;f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2};f\left( \pi \right) = 2 + 2\pi \).
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - \pi \) khi \(x = - \frac{\pi }{2}\) và có giá trị lớn nhất bằng \(2 + 2\pi \) khi \(x = \pi \).
Bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm và các tính chất của giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải toán là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Bài tập 4 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước. Các hàm số có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ hoặc hàm lượng giác. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều:
Để giải câu a, ta cần tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1. Ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1), sau đó rút gọn biểu thức để được f(x) = x + 1. Khi đó, giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1 là 1 + 1 = 2.
Tương tự như câu a, ta cần tính giới hạn của hàm số g(x) = (x^3 - 8) / (x - 2) khi x tiến tới 2. Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x^2 + 2x + 4), sau đó rút gọn biểu thức để được g(x) = x^2 + 2x + 4. Khi đó, giới hạn của g(x) khi x tiến tới 2 là 2^2 + 2*2 + 4 = 12.
Câu c yêu cầu tính giới hạn của hàm số h(x) = (sin x) / x khi x tiến tới 0. Đây là một giới hạn quen thuộc trong chương trình Toán học. Ta có thể sử dụng định lý L'Hopital để tính giới hạn này. Lấy đạo hàm của tử số và mẫu số, ta được h'(x) = cos x / 1. Khi đó, giới hạn của h'(x) khi x tiến tới 0 là cos 0 / 1 = 1. Vậy, giới hạn của h(x) khi x tiến tới 0 là 1.
Ngoài bài tập 4, còn rất nhiều bài tập tương tự về giới hạn hàm số. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập khác về giới hạn hàm số. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong SGK Toán 12 tập 1, các sách bài tập Toán 12 hoặc trên các trang web học toán online.
Bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về giới hạn hàm số. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
