Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều
Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Nguyên hàm trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán tích phân và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.
Bài viết này sẽ cung cấp một cách hệ thống và dễ hiểu về khái niệm nguyên hàm, các tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp.
1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\) \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \)
1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\) \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \) |
2. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \) |
3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
|
4. Nguyên hàm của hàm số mũ
|
Lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều
Nguyên hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc tính tích phân và giải quyết nhiều bài toán thực tế. Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, việc nắm vững lý thuyết nguyên hàm là điều kiện cần thiết để đạt kết quả tốt.
1. Khái niệm Nguyên hàm
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.
2. Tính chất của Nguyên hàm
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
- ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
- ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)
3. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp
Dưới đây là bảng tổng hợp nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp:
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| 1/(1+x2) | arctan(x) + C |
4. Phương pháp tìm Nguyên hàm
Việc tìm nguyên hàm của một hàm số có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
- Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng để đơn giản hóa biểu thức tích phân.
- Phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng cho các tích phân có dạng ∫u dv. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
- Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để tách tích phân thành các tích phân đơn giản hơn.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm ∫(2x + 3)dx
Giải: ∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx = 2∫xdx + 3∫dx = 2(x2/2) + 3x + C = x2 + 3x + C
Ví dụ 2: Tìm ∫x*exdx (sử dụng tích phân từng phần)
Giải: Đặt u = x, dv = exdx. Suy ra du = dx, v = ex. Áp dụng công thức tích phân từng phần: ∫x*exdx = xex - ∫exdx = xex - ex + C
6. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững lý thuyết nguyên hàm, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Sử dụng các tài liệu tham khảo, sách giáo khoa và các bài tập trực tuyến để rèn luyện kỹ năng.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
