Bài 1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài học này sẽ đi sâu vào định nghĩa, công thức và các ứng dụng thực tế của xác suất có điều kiện.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
P(B) là xác suất của biến cố B.

2. Tính chất của xác suất có điều kiện

0 ≤ P(A|B) ≤ 1
P(A|B) = 1 khi và chỉ khi A ⊆ B (A là tập con của B)
P(A|B) = 0 khi và chỉ khi A ∩ B = ∅ (A và B không có phần tử chung)

3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Trong đó B₁, B₂, ..., B_n là một hệ đầy đủ các biến cố.

Công thức Bayes:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”. Ta có:

P(A) = C₅² / C₈² = 10 / 28 = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán khi biết học sinh đó giỏi môn Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”. Ta có:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.20 / 0.40 = 0.5

5. Bài tập áp dụng

Một đồng xu được tung 2 lần. Tính xác suất để xuất hiện ít nhất một mặt sấp khi biết rằng lần tung đầu tiên xuất hiện mặt ngửa.
Trong một cuộc khảo sát, 70% người được hỏi thích xem phim hành động và 50% người được hỏi thích xem phim hài. Biết rằng 30% người được hỏi thích xem cả hai loại phim. Tính xác suất một người được hỏi thích xem phim hài khi biết rằng người đó thích xem phim hành động.

6. Kết luận

Bài học về xác suất có điều kiện cung cấp những kiến thức nền tảng và công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc ứng dụng lý thuyết vào thực tế.