Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với trình độ của học sinh. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0. a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'). b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'. c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD). d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).

Đề bài

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0.

a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD).

d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

a) Chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương, từ đó suy ra \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB'D'). Suy ra O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) + Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (OB’D’).

+ Viết phương trình tham số đường thẳng O’C.

+ Tìm giao điểm G của mặt phẳng (OB’D’) và đường thẳng O’C.

+ Tìm G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’.

+ Chứng minh được G trùng G’.

c) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

d) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có: \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} - a = 0\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = a\\{z_C} = 0\end{array} \right.\). Suy ra, C(a; a; 0).

Gọi \(D'\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {DD'} = \left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} - a = 0\\{z_{D'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} = a\\{z_{D'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, D’(0; a; a).

Gọi \(B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {BB'} = \left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.

Do đó: \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = a\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, B’(a; 0; a).

a) Ta có: \(\overrightarrow {OB'} = \left( {a;0;a} \right),\overrightarrow {OD'} = \left( {0;a;a} \right)\)\(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&a\\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&0\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\)

Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Lại có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = - a.\overrightarrow {O'C} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D').

b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:

\( - {a^2}\left( {x - 0} \right) - {a^2}\left( {y - 0} \right) + {a^2}\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0\) (Do \(a > 0\))

Đường thẳng O’C đi qua điểm O'(0; 0; a) và nhận \(\frac{1}{a}\overrightarrow {O'C} = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = a - t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).

Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:

\(t + t - \left( {a - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}\). Do đó, \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).

Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên \(G'\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).

Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'.

c) Gọi \(C'\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {CC'} = \left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \right)\).

Vì OBCD.O'B'C'D là hình lập phương nên \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\\{y_{C'}} - a = 0\\{z_{C'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = a\\{y_{C'}} = a\\{z_{C'}} = a\end{array} \right.\).

Suy ra, C’(a; a; a).

Ta có: \(\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - a; - a} \right),\overrightarrow {C'D} = \left( { - a;0 - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\)

Mặt phẳng (C'BD) nhận \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: \({a^2}.x + {a^2}\left( {y - a} \right) - {a^2}z = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0\)

Ta có: \(d\left( {B',\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - a - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

d) Ta có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\overrightarrow {O'D} = \left( {0;a; - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right)\)

Mặt phẳng (CO’D) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {0;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C'BD) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\cos \left( {\left( {CO'D} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\).

Bạn đang khám phá nội dung Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều trong chuyên mục đề toán 12 trên nền tảng đề thi toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Cánh diều, tập trung vào việc ôn tập chương 3: Đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số, các quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể.

Nội dung chi tiết bài tập 12

Bài tập 12 bao gồm nhiều câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:

Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.
Tính đạo hàm của hàm hợp.
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
Vận dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến cực trị hàm số.

Lời giải chi tiết từng câu hỏi

Câu a: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1)

Để tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1).

Câu b: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x^2)

Tương tự, để tính đạo hàm của hàm số y = tan(x^2), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: y' = (1 + tan^2(x^2)) * (x^2)' = (1 + tan^2(x^2)) * 2x.

Câu c: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^3 - 2x^2 + 1

Đầu tiên, ta tính đạo hàm cấp một: y' = 3x^2 - 4x. Sau đó, ta tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 4.

Phương pháp giải bài tập đạo hàm hiệu quả

Để giải các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, học sinh cần:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc tích, quy tắc thương, quy tắc hàm hợp).
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ tính đạo hàm (nếu cần thiết).

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính vận tốc và gia tốc trong vật lý.
Tìm cực trị của hàm số trong kinh tế và tài chính.
Xây dựng các mô hình toán học để mô tả các hiện tượng tự nhiên.

Lưu ý khi giải bài tập đạo hàm

Khi giải bài tập đạo hàm, học sinh cần chú ý:

Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
Sử dụng đúng các công thức và quy tắc đạo hàm.
Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán.

Tổng kết

Bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà montoan.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.