Giải bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x) = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox là:

A. \(\pi \int\limits_0^2 {\sqrt x dx} \)

B. \(\pi \int\limits_0^2 {xdx} \)

C. \(\int\limits_0^2 {\sqrt x dx} \)

D. \(\int\limits_0^2 {xdx} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng \(V = \pi \int\limits_a^b {{{[f(x)]}^2}dx} \)

Lời giải chi tiết

Thể tích khối tròn xoay đó là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {xdx} \)

Chọn B

Giải bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Tổng quan

Bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Cánh diều, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Cụ thể, bài tập yêu cầu học sinh tính đạo hàm của hàm số hợp và hàm số lượng giác. Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.

Nội dung bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Bài tập 2 bao gồm các câu hỏi yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:

Câu a: y = sin(x² + 1)
Câu b: y = cos(√(x + 1))
Câu c: y = tan(e^x)
Câu d: y = ln(sin(x))

Phương pháp giải bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Để giải bài tập này, học sinh cần áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp (chain rule) và quy tắc đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit. Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp được phát biểu như sau:

Nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

Lời giải chi tiết bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Câu a: y = sin(x² + 1)

Đặt u = x² + 1. Khi đó, y = sin(u). Ta có:

dy/du = cos(u)
du/dx = 2x

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(u) * 2x = 2x * cos(x² + 1)

Câu b: y = cos(√(x + 1))

Đặt u = √(x + 1). Khi đó, y = cos(u). Ta có:

dy/du = -sin(u)
du/dx = 1 / (2√(x + 1))

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = -sin(u) * (1 / (2√(x + 1))) = -sin(√(x + 1)) / (2√(x + 1))

Câu c: y = tan(e^x)

Đặt u = e^x. Khi đó, y = tan(u). Ta có:

dy/du = 1 / cos²(u) = sec²(u)
du/dx = e^x

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = sec²(u) * e^x = e^x / cos²(e^x)

Câu d: y = ln(sin(x))

Đặt u = sin(x). Khi đó, y = ln(u). Ta có:

dy/du = 1/u
du/dx = cos(x)

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = (1/u) * cos(x) = cos(x) / sin(x) = cot(x)

Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Sử dụng đúng các công thức đạo hàm cơ bản.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số hợp một cách chính xác.
Rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức đạo hàm.

Kết luận

Bài tập 2 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.