Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 1 trong chương 1 của sách Toán 12 tập 1 Cánh diều tập trung vào việc nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong quá trình khảo sát hàm số, giúp ta hiểu rõ hơn về sự biến thiên của hàm số trên các khoảng xác định.

1. Khái niệm về hàm số đơn điệu

Một hàm số f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).

2. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta sử dụng đạo hàm của hàm số. Cụ thể:

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) không đơn điệu trên (a, b).

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x^2 trên khoảng (0, +∞). Ta có f'(x) = 2x. Vì x > 0 trên khoảng (0, +∞) nên f'(x) > 0 với mọi x thuộc (0, +∞). Do đó, hàm số f(x) = x^2 đồng biến trên khoảng (0, +∞).

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng giải một số bài tập sau:

1. Xác định tính đơn điệu của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x trên khoảng (-∞, +∞).
2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = (x-1)/(x+1).

5. Lưu ý quan trọng

Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Ngoài ra, cần phân biệt rõ giữa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến.

6. Mở rộng kiến thức

Tính đơn điệu của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Việc nắm vững kiến thức về tính đơn điệu sẽ giúp các em giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.

7. Kết luận

Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số là nền tảng quan trọng để hiểu và vận dụng đạo hàm vào việc khảo sát hàm số. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tập tốt!