Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chào mừng các em học sinh đến với bài học về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12 Cánh diều. Bài học này thuộc Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, tập trung vào việc vận dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập vận dụng đa dạng để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 2 trong SGK Toán 12 Cánh diều tập 1 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một khoảng hoặc trên toàn bộ tập xác định. Đây là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm trong chương trình Toán 12, có tính ứng dụng cao trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Lý thuyết cơ bản

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định).
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (a, b).
Xác định GTLN và GTNN của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lưu ý:

Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a, b], GTLN và GTNN của hàm số luôn tồn tại.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm tới hạn hoặc tại các đầu mút của khoảng.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1, 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm tới hạn: f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Lập bảng biến thiên:
x -1 0 2 3
f'(x) + - + +
f(x) 0 2 -2 8
Kết luận: Hàm số đạt GTLN tại x = 3, f(3) = 8 và đạt GTNN tại x = 2, f(2) = -2.

x	-1	0	2	3
f'(x)	+	-	+	+
f(x)	0	2	-2	8

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = sinx trên khoảng (0, π).

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = cosx
Tìm điểm tới hạn: f'(x) = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2.
Lập bảng biến thiên:
x 0 π/2 π
f'(x) + - -
f(x) 0 1 0
Kết luận: Hàm số đạt GTLN tại x = π/2, f(π/2) = 1. Hàm số không có GTNN trên khoảng (0, π).

x	0	π/2	π
f'(x)	+	-	-
f(x)	0	1	0

III. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên đoạn [0, 4].
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-π/2, π/2).
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 trên đoạn [0, 5].

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!