Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian - Giải Toán 12 Tập 2 Cánh Diều

Chương 5 trong sách giáo khoa Toán 12 tập 2 Cánh Diều là một phần quan trọng của chương trình học, tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng các phương trình trong không gian ba chiều. Chương này cung cấp nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp, đồng thời là bước chuẩn bị cho các kiến thức nâng cao trong các chương trình học tiếp theo.

I. Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của mặt phẳng: Một mặt phẳng (P) được xác định duy nhất bởi một điểm M₀ thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến \vec{n}". Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, trong đó \vec{n} = (A, B, C)" là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Các dạng phương trình của mặt phẳng: Ngoài phương trình tổng quát, mặt phẳng còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác như phương trình tham số, phương trình theo đoạn chắn.

3. Điều kiện song song và vuông góc giữa hai mặt phẳng: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng: Một đường thẳng (d) được xác định duy nhất bởi một điểm M₀ thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương \vec{u}". Phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng: \begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \ \end{cases}", trong đó \vec{u} = (a, b, c)" là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}"

3. Điều kiện song song và vuông góc giữa hai đường thẳng: Tương tự như mặt phẳng, hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của chúng cùng phương. Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

III. Phương trình mặt cầu

1. Tâm và bán kính của mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) và bán kính R được xác định bởi phương trình: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

2. Điều kiện để một điểm thuộc, nằm ngoài, nằm trong mặt cầu: Kiểm tra bằng cách thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu và so sánh với R².

3. Phương trình tiếp xúc của mặt cầu: Một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính của mặt cầu.

IV. Bài tập vận dụng và mở rộng

Chương 5 cung cấp nhiều bài tập vận dụng và mở rộng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu sâu hơn về các khái niệm đã học. Các bài tập thường yêu cầu:

Tìm phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu khi biết các yếu tố liên quan.
Xác định mối quan hệ giữa các mặt phẳng, đường thẳng.
Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc giữa các đối tượng hình học.

V. Lời khuyên khi học chương 5

Để học tốt chương 5, bạn nên:

Nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu.
Luyện tập thường xuyên các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính cầm tay, phần mềm hình học để kiểm tra và minh họa kết quả.
Tham khảo các tài liệu tham khảo, bài giảng online để mở rộng kiến thức.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tốt chương 5 môn Toán 12 tập 2 Cánh Diều. Chúc bạn thành công!