THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2, thuộc chương trình Toán 12 - Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.
Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.
Đề bài
Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.
Trực thăng cất cánh từ điểm G. Vectơ \(\overrightarrow r \) chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm t phút sau khi cất cánh (t ≥ 0) có toạ độ là: \(\overrightarrow r = \left( {1 + t;0,5 + 2t;2t} \right)\).
a) Tìm góc θ mà đường bay tạo với phương ngang.
b) Lập phương trình đường thẳng GF, trong đó F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy).
c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km. Tìm toạ độ điểm mà máy bay trực thăng bắt đầu đi vào đám mây.
d) Giả sử một đỉnh núi nằm ở điểm M(5; 4,5; 3). Tìm giá trị của t khi HM vuông góc với đường bay GH. Tìm khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Gọi \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
b) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).
c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2km, tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu di chuyển vào đám mây có cao độ \(z = 2\) nên \(2t = 2 \Rightarrow t = 1\). Từ đó tính được tọa độ điểm cần tìm.
d) Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc để tính: HM vuông góc với đường bay GH khi \(\overrightarrow {HM} \bot \overrightarrow {GK} \Leftrightarrow \overrightarrow {HM} .\overrightarrow {GK} = 0\).
Lời giải chi tiết
a) Góc \(\theta \) là góc giữa đường thẳng GH và mặt phẳng (Oxy).
Tại thời điểm \(t = 0\) thì \(\overrightarrow {{r_0}} = \left( {1;0,5;0} \right)\). Trực thăng cất cánh từ điểm G nên G(1; 0,5; 0).
Tại thời điểm \(t = 1\), trực thăng bay đến vị trí K thuộc đường thẳng GH với K(2; 2,5; 2).
Đường thẳng GH nhận \(\overrightarrow {GK} = \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\sin \left( {GH,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 2.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\) nên \(\left( {GH,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {42^o}\).
Vậy \(\theta \approx {42^o}\).
b) Gọi K’ là hình chiếu của K lên mặt phẳng (Oxy). Suy ra, K’(2; 2,5; 0).
Vì F là hình chiếu của H lên mặt phẳng (Oxy) nên \(K' \in GF\).
Suy ra, đường thẳng GF có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {GK'} = \left( {1;2;0} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng GF: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 0,5 + 2t'\\z = 0\end{array} \right.\) (\(t'\) là tham số).
c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2km, tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu di chuyển vào đám mây có cao độ \(z = 2\) nên \(2t = 2 \Rightarrow t = 1\). Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là (2; 2,5; 2).
d) Ta có: \(H\left( {1 + t;0,5 + 2t;2t} \right)\), \(\overrightarrow {HM} = \left( {4 - t;4 - 2t;3 - 2t} \right)\).
HM vuông góc với đường bay GH khi \(\overrightarrow {HM} \bot \overrightarrow {GK} \Leftrightarrow \overrightarrow {HM} .\overrightarrow {GK} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {4 - t} \right).1 + \left( {4 - 2t} \right).2 + \left( {3 - 2t} \right).2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Vậy \(t = 2\) thì HM vuông góc với đường bay GH.
Khi đó, khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi là:
\(HM = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2.2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2.2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \left( {km} \right)\)
Bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, tính góc giữa chúng, và giải các bài toán liên quan đến khoảng cách.
Bài tập 13 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải quyết hiệu quả bài tập 13, các em cần nắm vững các kiến thức sau:
Bài 13.1: (Giả sử đề bài là tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)).
Lời giải:
Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
Bài 13.2: (Giả sử đề bài là tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)).
Lời giải:
Để tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm các bài giảng online hoặc tham gia các khóa học luyện thi để được hướng dẫn chi tiết hơn.
Bài tập 13 trang 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa chúng, và khoảng cách. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
