THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2, thuộc chương trình Toán 12 Cánh diều.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC. c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Đề bài
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC.
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về cặp vectơ chỉ phương để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \). Khi đó, vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \).
b) + Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Nếu \(abc \ne 0\) thì hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).
c) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0\)
d) Chứng minh điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;3;3} \right)\).
b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:
+ Phương trình tham số của đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).
Đường thẳng AC đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:
+ Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AC: .
c) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 1; 3) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là:
\(x + y - 1 + z - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\)
d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; -2) vào mặt phẳng (ABC) ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 4 = - 4 \ne 0\) nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Ta có: \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác và hàm hợp.
Bài tập 5 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:
Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản của các hàm số lượng giác và quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Cụ thể:
f'(x) = (sin(x))' + (cos(x))' = cos(x) - sin(x)
f'(x) = (tan(x))' = 1/cos2(x)
f'(x) = 2sin(x) * (sin(x))' = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
f'(x) = -sin(2x) * (2x)' = -2sin(2x)
f'(x) = cos(x2) * (x2)' = 2xcos(x2)
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài tập 5 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác và hàm hợp. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
