Giải Toán 12 Chương 4: Nguyên Hàm - Tích Phân

Chương 4: Nguyên Hàm - Tích Phân - SGK Toán 12 Cánh Diều

Chương 4 trong sách giáo khoa Toán 12 Cánh Diều tập 2 tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: nguyên hàm và tích phân. Đây là những công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán thực tế trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế.

I. Nguyên Hàm

1. Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ví dụ, nếu f(x) = 2x, thì F(x) = x² + C là một nguyên hàm của f(x), với C là hằng số bất kỳ.

2. Tính chất của nguyên hàm:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Hàm số f(x) có vô số nguyên hàm.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

II. Tích Phân

1. Khái niệm tích phân bất định: Tích phân bất định của hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x), ký hiệu là ∫f(x)dx.

2. Khái niệm tích phân xác định: Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số, ký hiệu là ∫_a^bf(x)dx, biểu diễn diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.

3. Tính chất của tích phân xác định:

∫_a^bf(x)dx = -∫_b^af(x)dx
∫_a^b[f(x) + g(x)]dx = ∫_a^bf(x)dx + ∫_a^bg(x)dx
∫_a^bkf(x)dx = k∫_a^bf(x)dx (với k là hằng số)

III. Phương Pháp Tính Tích Phân

1. Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.

2. Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số, dựa trên công thức ∫u dv = uv - ∫v du.

3. Các phương pháp khác: Tùy thuộc vào dạng hàm số, có thể sử dụng các phương pháp khác như phân tích thành nhân tử, sử dụng công thức tích phân lượng giác, v.v.

IV. Ứng Dụng Của Nguyên Hàm Và Tích Phân

Nguyên hàm và tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau:

Tính diện tích hình phẳng: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng.
Tính thể tích vật thể: Tính thể tích các vật thể tròn xoay.
Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
Giải các bài toán vật lý: Tính quãng đường đi được, vận tốc, gia tốc, v.v.

montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ nắm vững chương 4 Toán 12 Cánh Diều và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia.