Bài 1. Nguyên hàm

Bài 1. Nguyên hàm - SGK Toán 12 Cánh Diều: Tổng quan

Bài 1 trong chương 4 của SGK Toán 12 Cánh Diều tập 2 giới thiệu khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản. Đây là bước đệm quan trọng để học sinh làm quen với tích phân, một công cụ mạnh mẽ trong giải quyết các bài toán thực tế.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Hàm số f(x) có vô số nguyên hàm.
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Dưới đây là bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng bảng nguyên hàm: Tìm nguyên hàm bằng cách đối chiếu với bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.
Phương pháp đổi biến: Sử dụng phép đổi biến để đưa hàm số về dạng đơn giản hơn, dễ tìm nguyên hàm.
Phương pháp tích phân từng phần: Áp dụng công thức tích phân từng phần: ∫u dv = uv - ∫v du

5. Bài tập Vận dụng

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x³ + 3x² - 1.

Giải: ∫(2x³ + 3x² - 1)dx = 2∫x³dx + 3∫x²dx - ∫1dx = 2(x⁴/4) + 3(x³/3) - x + C = x⁴/2 + x³ - x + C

6. Lưu ý quan trọng

Khi tìm nguyên hàm, đừng quên thêm hằng số tích phân C. Việc bỏ qua C có thể dẫn đến kết quả sai.

7. Kết luận

Bài 1. Nguyên hàm là một bài học cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức về nguyên hàm sẽ giúp các em giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả và tự tin hơn. Chúc các em học tốt!