THCS
THCS
Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân trong chương trình Toán 12 Cánh Diều là một phần quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu sắc về mối liên hệ giữa tích phân và các bài toán hình học.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp hệ thống lý thuyết đầy đủ, dễ hiểu cùng các bài tập vận dụng đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục chuyên đề này.
Hãy cùng khám phá những kiến thức cốt lõi và phương pháp giải quyết bài tập hiệu quả ngay sau đây!
1.Tính diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)
1.Tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \) |
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) |
2. Tính thể tích của hình khối
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \) |
b) Thể tích của khối tròn xoay
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \) |
Chuyên đề Ứng dụng hình học của tích phân trong chương trình Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc sử dụng tích phân để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Đây là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của tích phân, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa thực tế của tích phân và khả năng ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Trong đó:
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1.
Giải:
S = ∫-11 x2 dx = [x3/3]-11 = (1/3) - (-1/3) = 2/3
Có hai phương pháp chính để tính thể tích khối tròn xoay:
Nếu quay miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox, thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức:
V = π ∫ab [f(x)]2 dx
Nếu quay miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Oy, thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức:
V = 2π ∫ab x|f(x)| dx
Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x, trục hoành và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.
Giải:
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx = π [x2/2]04 = π (8) = 8π
Các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân thường xoay quanh các dạng sau:
Để nắm vững kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân, bạn cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Ứng dụng hình học của tích phân là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin đối mặt với các bài thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Chúc bạn học tập tốt!
