Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian, giúp bạn hiểu rõ hơn về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các ứng dụng thực tế của phương trình mặt phẳng.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.

1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Vecto pháp tuyến

1. Vecto pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

a) Vecto pháp tuyến

Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).

b) Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng (P). Hai vecto không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P).

c) Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Nếu hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right)\).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là:

\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

\(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó:

\(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\).

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

\(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng toán math. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều

Phương trình mặt phẳng là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta mô tả vị trí của một mặt phẳng trong không gian Oxyz. Để hiểu rõ về phương trình mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu vectơ đó vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc xác định phương trình của mặt phẳng.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

ax + by + cz + d = 0

Trong đó:

(a, b, c) là tọa độ của vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng.
d là một hằng số.

Để xác định phương trình của một mặt phẳng, chúng ta cần biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Các dạng phương trình của mặt phẳng

Ngoài phương trình tổng quát, mặt phẳng còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác:

Phương trình tham số của mặt phẳng: Dạng này biểu diễn mặt phẳng thông qua một điểm thuộc mặt phẳng và hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Dạng này biểu diễn mặt phẳng thông qua ba điểm mà mặt phẳng cắt các trục tọa độ.

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Kiểm tra vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Nếu tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0, thì đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
Kiểm tra một điểm thuộc đường thẳng có thuộc mặt phẳng hay không: Nếu điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn phương trình của mặt phẳng, thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó. Góc này được tính bằng công thức:

cos(θ) = |(n₁.n₂)| / (|n₁||n₂|)

Trong đó:

n₁ và n₂ là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
θ là góc giữa hai mặt phẳng.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1; -1; 2).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0. Rút gọn, ta được: x - y + 2z - 3 = 0.

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y - z + 1 = 0.

Giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; -1; 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1; 1; -1). Tích vô hướng của hai vectơ này là 1*1 + (-1)*1 + 2*(-1) = -2 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không song song với mặt phẳng (P). Kiểm tra điểm A(1; 2; 3) thuộc đường thẳng d, ta thấy A không thuộc mặt phẳng (P) vì 1 + 2 - 3 + 1 = 1 ≠ 0. Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cánh Diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!