Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Tổng quan

Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để phân tích và vẽ đồ thị của hàm số. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia. Chương này bao gồm các nội dung chính sau:

• Đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm: Ôn lại khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm.
• Các phép toán về đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp.
• Đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit: Công thức tính đạo hàm của các hàm số đặc biệt.
• Khảo sát hàm số bằng đạo hàm: Tìm cực trị, điểm uốn, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.

1. Khảo sát hàm số bằng đạo hàm

Khảo sát hàm số bằng đạo hàm là quá trình phân tích các tính chất của hàm số dựa trên đạo hàm của nó. Các bước thực hiện khảo sát hàm số thường bao gồm:

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất y'.
3. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà y' = 0 hoặc không xác định).
4. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
5. Tìm cực trị của hàm số.
6. Tính đạo hàm cấp hai y''.
7. Tìm điểm uốn của hàm số.
8. Xác định khoảng lồi, lõm của hàm số.
9. Vẽ đồ thị hàm số.

2. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế

Đạo hàm không chỉ được sử dụng để khảo sát hàm số mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Trong các bài toán tối ưu hóa.
• Tính vận tốc, gia tốc trong vật lý: Đạo hàm của hàm vị trí theo thời gian là vận tốc, đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
• Tính lãi suất, tăng trưởng dân số trong kinh tế: Đạo hàm được sử dụng để mô tả tốc độ thay đổi của các đại lượng kinh tế.

3. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

Giải:

1. Tập xác định: D = R
2. y' = 3x² - 6x
3. y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
4. Khoảng đồng biến: (-∞; 0) và (2; +∞)
5. Khoảng nghịch biến: (0; 2)
6. Cực đại: x = 0, y = 2
7. Cực tiểu: x = 2, y = -2
8. y'' = 6x - 6
9. y'' = 0 ⇔ x = 1
10. Điểm uốn: x = 1, y = 0

4. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về chương 1, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

• Tìm đạo hàm của các hàm số phức tạp.
• Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.
• Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế.

5. Tài liệu tham khảo

Ngoài sách giáo khoa, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

• Sách bài tập Toán 12 Cánh Diều
• Các trang web học toán online uy tín
• Các video bài giảng trên YouTube

Hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ hiểu rõ hơn về chương 1 môn Toán 12 Cánh Diều và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.