Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị, từ đó dễ dàng phân tích các tính chất của hàm số.

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến đến vô cùng.

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

II. Cách tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị x mà hàm số không xác định (ví dụ: mẫu số bằng 0). Kiểm tra giới hạn của hàm số tại các giá trị này.
2. Tìm tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến +∞ và -∞.
3. Tìm tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→+∞ f(x) / x và b = lim_x→+∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì không tồn tại giới hạn a).

IV. Bài tập áp dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x³ - 1) / (x² + 1)

V. Lưu ý quan trọng

Không phải hàm số nào cũng có đường tiệm cận. Một hàm số có thể có một, hai hoặc ba loại đường tiệm cận khác nhau. Việc tìm đường tiệm cận là bước quan trọng trong việc vẽ đồ thị hàm số và phân tích các tính chất của hàm số.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc các em học tập tốt!