Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau: A. (y = frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}) B. (y = frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}) C. (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} - 4} }})
Đề bài
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm TXD.
Phân tích hàm số.
Tìm TCD, TCN.
Lời giải chi tiết
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)
Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (5x + 1) = 5.\frac{2}{3} + 1 = \frac{{13}}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (3x - 2) = 3.\frac{2}{3} - 2 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{3}\).
Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\).
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x = - 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (2{x^3} - 3x) = 2.{( - 1)^3} - 3.( - 1) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^3} + 1) = {( - 1)^3} + 1 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 1\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 2\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\).
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)
Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4} = 0\) → \(x = - 2;\;x = 2\).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 2;\;x = 2\).
Ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{ - \sqrt 1 }} = - 1\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y = - 1\).
Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Tổng quan
Bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các chương trình học toán cao hơn. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn để tính toán và chứng minh.
Nội dung bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Bài tập 6 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số khác nhau. Các hàm số này có thể là hàm đa thức, hàm phân thức, hoặc các hàm số phức tạp hơn. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các phương pháp tính giới hạn sau:
- Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn.
- Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức và tính giới hạn.
- Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để khử dạng vô định.
- Phương pháp sử dụng định lý giới hạn: Áp dụng các định lý giới hạn để tính giới hạn của các hàm số phức tạp.
Lời giải chi tiết bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Câu a: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Ta có: limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Câu b: Tính limx→-1 (x3 + 1) / (x + 1)
Ta có: limx→-1 (x3 + 1) / (x + 1) = limx→-1 (x + 1)(x2 - x + 1) / (x + 1) = limx→-1 (x2 - x + 1) = (-1)2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Câu c: Tính limx→0 sin(x) / x
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta có: limx→0 sin(x) / x = 1
Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn
Khi giải bài tập về giới hạn, học sinh cần chú ý các điểm sau:
- Kiểm tra xem có thể thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số hay không. Nếu thay vào mà biểu thức có dạng vô định (0/0, ∞/∞), thì cần sử dụng các phương pháp khác để tính giới hạn.
- Sử dụng đúng các định lý giới hạn.
- Rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn. Việc này sẽ giúp cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.
- Kiểm tra lại kết quả.
Ứng dụng của kiến thức về giới hạn
Kiến thức về giới hạn có ứng dụng rất lớn trong toán học và các ngành khoa học khác. Nó được sử dụng để định nghĩa đạo hàm, tích phân, và các khái niệm quan trọng khác. Ngoài ra, giới hạn còn được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý, kinh tế, và xã hội.
Bài tập luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về giới hạn, học sinh có thể làm thêm các bài tập sau:
- Tính limx→3 (x2 - 9) / (x - 3)
- Tính limx→1 (x3 - 1) / (x - 1)
- Tính limx→0 cos(x) - 1 / x
Kết luận
Bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ về giới hạn của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, học sinh có thể tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự.
