Giải bài tập 7 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 2;3;4} \right)\). Gọi \(H,K,P\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(A\) trên các trục \(Ox,Oy,Oz\). Tìm tọa độ của các điểm \(H,K,P\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 7 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều 1

Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng tọa độ sẽ giữ nguyên hai tọa độ tương ứng với mặt phẳng đó và tọa độ còn lại sẽ bằng 0

Lời giải chi tiết

Hình chiếu của \(A\) trên trục \(Ox\) (điểm \(H\)): \(H\left( { - 2;0;0} \right)\)

Hình chiếu của \(A\) trên trục \(Oy\) (điểm \(K\)): \(K\left( {0;3;0} \right)\)

Hình chiếu của \(A\) trên trục \(Oz\) (điểm \(P\)): \(P\left( {0;0;4} \right)\)

Giải bài tập 7 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài tập 7 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12, thuộc chương trình khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, từ đó xác định tính đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:

Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.
Các quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit) và các quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị: Hiểu rõ điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại một điểm.
Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số: Biết cách sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 7 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích lời giải chi tiết:

Phân tích đề bài

Đề bài yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2. Việc khảo sát hàm số bao gồm các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm cấp một y'.
Tìm các điểm tới hạn (điểm mà y' = 0 hoặc y' không xác định).
Xác định dấu của y' trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tính đạo hàm cấp hai y''.
Xác định các điểm uốn của hàm số (điểm mà y'' = 0 và y'' đổi dấu).
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Tập xác định

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 có tập xác định là D = ℝ.

Bước 2: Tính đạo hàm cấp một

y' = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm các điểm tới hạn

Giải phương trình y' = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Xác định dấu của y'

Xét các khoảng:

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Bước 5: Tính đạo hàm cấp hai

y'' = 6x - 6

Bước 6: Tìm các điểm uốn

Giải phương trình y'' = 0:

6x - 6 = 0

x = 1

Tại x = 1, y'' đổi dấu, vậy x = 1 là điểm uốn.

Bước 7: Lập bảng biến thiên

x	-∞	0	1	2	+∞
y'	+	0	-	0	+
y	↗	Max	↘	Min	↗

Bước 8: Vẽ đồ thị hàm số

(Đồ thị hàm số sẽ được vẽ dựa trên bảng biến thiên và các điểm đặc biệt)

Kết luận

Thông qua việc giải bài tập 7 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều, chúng ta đã nắm vững phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Đây là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 12 và sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập và làm bài thi.