Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - Giải Toán 12 Cánh diều tập 2

Bài 2 trong chương 4 của sách Toán 12 Cánh diều tập 2 tập trung vào việc tìm hiểu nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh có thể tiếp cận và giải quyết các bài toán tích phân phức tạp hơn. Dưới đây là nội dung chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trong bài học này.

I. Khái niệm Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Kí hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

II. Các Tính chất của Nguyên hàm

Tính chất 1: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

III. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa: ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
Nguyên hàm của hàm số 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Nguyên hàm của hàm số e^x: ∫e^xdx = e^x + C
Nguyên hàm của hàm số a^x: ∫a^xdx = (a^x)/ln(a) + C
Nguyên hàm của hàm số sin(x): ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
Nguyên hàm của hàm số cos(x): ∫cos(x)dx = sin(x) + C

IV. Bài tập vận dụng (Giải chi tiết)

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1

Giải: ∫(3x² + 2x + 1)dx = 3∫x²dx + 2∫xdx + ∫dx = 3(x³/3) + 2(x²/2) + x + C = x³ + x² + x + C

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 5e^x - 4sin(x)

Giải: ∫(5e^x - 4sin(x))dx = 5∫e^xdx - 4∫sin(x)dx = 5e^x - 4(-cos(x)) + C = 5e^x + 4cos(x) + C

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm nguyên hàm, đừng quên thêm hằng số tích phân C. Việc hiểu rõ các tính chất của nguyên hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác hơn. Thực hành nhiều bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và kỹ năng.

VI. Mở rộng kiến thức

Nguyên hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Việc nắm vững kiến thức về nguyên hàm sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về tích phân và các ứng dụng của nó.

Hy vọng với bài viết này, các em học sinh đã có thêm kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán về nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Chúc các em học tập tốt!