Bài 3. Tích phân

Bài 3. Tích phân - SGK Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 3 trong chương trình Toán 12 Tập 2, sách Cánh diều, tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về tích phân. Nội dung chính của bài học bao gồm các phương pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, và các bài tập vận dụng thực tế.

I. Khái niệm cơ bản về tích phân

Tích phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Có hai loại tích phân chính: tích phân bất định và tích phân xác định.

Tích phân bất định: Là một họ các hàm số có đạo hàm bằng hàm số đã cho. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó F'(x) = f(x) và C là hằng số tích phân.
Tích phân xác định: Là một số, biểu thị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a và x = b. Ký hiệu: ∫_a^bf(x)dx.

II. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du.
Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản: Sử dụng để tính tích phân của các hàm số hữu tỉ.

III. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a và x = b được tính bằng công thức: S = ∫_a^b|f(x)|dx.
Tính thể tích vật thể: Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành bằng cách quay một vùng phẳng quanh một trục được tính bằng phương pháp đĩa hoặc phương pháp vỏ.
Tính độ dài đường cong: Độ dài đường cong y = f(x) trên đoạn [a, b] được tính bằng công thức: L = ∫_a^b√(1 + (f'(x))²)dx.