Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều
Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của vecto trong chương trình Toán 12 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về tọa độ của vecto, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách biểu diễn vecto trong hệ tọa độ, các phép toán trên vecto biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của tọa độ vecto trong việc giải quyết các bài toán hình học.
1. Tọa độ của một điểm a) Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Tọa độ của một điểm
a) Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
b) Tọa độ của một điểm
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M. - Xác định hình chiếu \({M_1}\) của điểm M trên mặt phẳng (Oxy). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm hoành độ a, tung độ b của điểm \({M_1}\) - Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M. Bộ số (a;b;c) là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, kí hiệu là M(a;b;c) |
2. Tọa độ của một vecto
Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OM} \) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vecto \(\overrightarrow u \) là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) thì \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] . Ngược lại, nếu \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \] thì \(\overrightarrow u \) = (a;b;c) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó: \(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\) |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)
Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)
Lý thuyết Tọa độ của vecto Toán 12 Cánh Diều
Trong chương trình Toán 12, phần tọa độ của vecto đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học một cách chính xác và hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về tọa độ của vecto theo chương trình Cánh Diều, bao gồm định nghĩa, các phép toán và ứng dụng.
1. Định nghĩa tọa độ của vecto
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi vecto \overrightarrow{a} được xác định duy nhất bởi tọa độ của nó, ký hiệu là a = (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vecto.
Để xác định tọa độ của một vecto, ta thường sử dụng các công thức sau:
- Nếu \overrightarrow{a} = \overrightarrow{MN} với M(xM; yM) và N(xN; yN) thì \overrightarrow{a} = (xN - xM; yN - yM).
- Vecto đơn vị trên trục Ox có tọa độ (1; 0), ký hiệu là \overrightarrow{i}.
- Vecto đơn vị trên trục Oy có tọa độ (0; 1), ký hiệu là \overrightarrow{j}.
2. Các phép toán trên vecto biểu diễn bằng tọa độ
Khi thực hiện các phép toán trên vecto biểu diễn bằng tọa độ, ta thực hiện các phép toán tương ứng trên các tọa độ của chúng:
- Phép cộng vecto:\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (xa + xb; ya + yb)
- Phép trừ vecto:\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (xa - xb; ya - yb)
- Phép nhân vecto với một số thực:k\overrightarrow{a} = (kxa; kya)
3. Tích vô hướng của hai vecto
Tích vô hướng của hai vecto \overrightarrow{a} = (xa; ya) và \overrightarrow{b} = (xb; yb) được tính bằng công thức:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = xaxb + yayb
Ứng dụng của tích vô hướng:
- Tính góc giữa hai vecto: cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}|| \cdot ||\overrightarrow{b}||}
- Kiểm tra tính vuông góc của hai vecto: \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} khi và chỉ khi \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0
4. Ứng dụng của tọa độ vecto trong giải toán hình học
Tọa độ vecto được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là:
- Chứng minh các đẳng thức vecto.
- Tìm tọa độ của các điểm đặc biệt trong hình học (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp...).
- Giải các bài toán về đường thẳng, đường tròn, elip, parabol, hypebol.
5. Bài tập ví dụ minh họa
Bài tập 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vecto \overrightarrow{AB}.
Giải:\overrightarrow{AB} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)
Bài tập 2: Cho \overrightarrow{a} = (1; -2) và \overrightarrow{b} = (3; 1). Tính \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} và \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Giải:
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1 + 3; -2 + 1) = (4; -1)
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(3) + (-2)(1) = 3 - 2 = 1
6. Kết luận
Lý thuyết tọa độ của vecto là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững các định nghĩa, các phép toán và ứng dụng của tọa độ vecto sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và làm bài tập Toán 12.
