Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán thực tế trong hình học, bao gồm tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn xoay. Đây là một phần quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của tích phân trong đời sống và các lĩnh vực khoa học khác.

I. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
∫_a^b |f(x)| dx là tích phân xác định của hàm số |f(x)| từ a đến b

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).

II. Tính thể tích vật tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật tròn xoay:

Phương pháp đĩa (hoặc phương pháp lát cắt vuông góc):

Nếu quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox, ta được một vật tròn xoay. Thể tích của vật tròn xoay này được tính bằng công thức:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Phương pháp vỏ (hoặc phương pháp lát cắt song song):

Nếu quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy, ta được một vật tròn xoay. Thể tích của vật tròn xoay này được tính bằng công thức:

V = π ∫_c^d [g(y)]² dy

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

Diện tích hình phẳng là:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

Ví dụ 2: Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Thể tích vật tròn xoay là:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π (16/2) = 8π

IV. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều:

Bài 4.1
Bài 4.2
Bài 4.3

V. Kết luận

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các công thức và phương pháp tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn xoay sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. montoan.com.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và giúp các em học tập tốt hơn.