Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SGK Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng là một phương trình bậc nhất theo ba biến x, y, z. Bài học này sẽ tập trung vào việc xây dựng và sử dụng phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán hình học không gian.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu vectơ đó vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc xác định phương trình mặt phẳng.

• Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu n vuông góc với mọi vectơ a nằm trong (P).
• Cách tìm vectơ pháp tuyến:
  • Từ hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng, ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ đó.
  • Nếu mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, thì vectơ n = (A, B, C) là một vectơ pháp tuyến của (P).

2. Phương trình mặt phẳng

Có hai dạng phương trình mặt phẳng thường được sử dụng:

2.1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) và đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) là:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Hoặc có thể viết dưới dạng:

Ax + By + Cz + D = 0, trong đó D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀

2.2. Phương trình tham số của mặt phẳng

Phương trình tham số của mặt phẳng (P) đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có hai vectơ chỉ phương u = (a₁, b₁, c₁) và v = (a₂, b₂, c₂) là:

x = x₀ + t a₁ + s a₂

y = y₀ + t b₁ + s b₂

z = z₀ + t c₁ + s c₂

Trong đó t và s là các tham số thực.

3. Các dạng đặc biệt của phương trình mặt phẳng

• Phương trình mặt phẳng song song với trục Ox: By + Cz + D = 0
• Phương trình mặt phẳng song song với trục Oy: Ax + Cz + D = 0
• Phương trình mặt phẳng song song với trục Oz: Ax + By + D = 0
• Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: Ax + By + Cz = 0

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -2, 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng (P) là: 1(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 => x - 2y + z - 2 = 0

Ví dụ 2: Tìm phương trình mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C(0, 0, 1).

Giải:

• Tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng: AB = (-1, 1, 0), AC = (-1, 0, 1)
• Tìm vectơ pháp tuyến: n = AB x AC = (1, 1, 1)
• Phương trình mặt phẳng (Q) là: 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 => x + y + z - 1 = 0

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online để luyện tập.

Kết luận

Bài học về phương trình mặt phẳng là nền tảng quan trọng cho việc học hình học không gian. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để hiểu và vận dụng phương trình mặt phẳng một cách hiệu quả.