Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Giải chi tiết SGK Toán 11 Kết nối tri thức

I. Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Ký hiệu: d ⊥ (P).

Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Định lý 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lý 3: Nếu một đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).

Hệ quả: Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

III. Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lý 4: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

• Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
• Trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: tan(∠SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
• Vậy ∠SCA = arctan(1/√2).

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Giải:

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') chính là độ dài đoạn thẳng AB, do đó khoảng cách đó bằng a.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn nên thực hành giải thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online uy tín.

VI. Kết luận

Bài học Bài 23 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!