THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đồng thời, bài học cũng sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến chủ đề này.
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Chú ý: Khi \(\Delta \) vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với \(\Delta \) hoặc \(\Delta \) và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\Delta \bot \left( P \right)\).
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
3. Tính chất
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Nhận xét: Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta \) thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với \(\Delta \).
Chú ý: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.
- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì a vuông góc với (Q).
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- Nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\Delta \) cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- Nếu đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P).
- Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng \(\Delta \) thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, chủ đề “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” đóng vai trò then chốt, là nền tảng cho việc hiểu và giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này theo chương trình Kết nối tri thức.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Điểm chung giữa đường thẳng và mặt phẳng được gọi là giao điểm.
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng là hình chiếu của các điểm trên đường thẳng đó.
Có hai dấu hiệu nhận biết quan trọng:
Đường thẳng xiên: Đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng.
Độ dài đường xiên: Khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng xiên đến mặt phẳng.
Tính chất: Đường xiên có độ dài lớn hơn hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Để giải các bài tập liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cần:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh SA vuông góc với BD.
Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BD (BD nằm trong mặt phẳng (ABCD)).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Giải: Vì SA, SB, SC đôi một vuông góc nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng góc ASB, góc BSC, góc CSA đều bằng 90 độ.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
Lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một phần quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và ứng dụng của lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn học tốt môn Toán.
