Chương 5 Giới hạn.Hàm số liên tục

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục - Toán 11 Kết nối tri thức

Chương 5 trong sách giáo khoa Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: giới hạn của hàm số và tính liên tục của hàm số. Đây là những khái niệm nền tảng, không chỉ quan trọng cho việc học tập ở bậc trung học phổ thông mà còn là bước đệm cho các môn học toán cao cấp sau này.

I. Giới hạn của hàm số

1. Khái niệm giới hạn tại một điểm:

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà hàm số f(x) tiến gần tới khi x lấy các giá trị gần a nhưng không bằng a.

Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ hàm số f(x) = x². Khi x tiến tới 2, f(x) tiến tới 4. Do đó, lim_x→2 x² = 4.

2. Các dạng giới hạn vô cùng:

lim_x→+∞ f(x) = L (L là một số thực)
lim_x→-∞ f(x) = L (L là một số thực)
lim_x→a f(x) = +∞
lim_x→a f(x) = -∞

3. Tính chất của giới hạn:

Giới hạn của một tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn tương ứng.

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu:

Hàm số f(x) xác định tại x₀.
lim_x→x₀ f(x) tồn tại.
lim_x→x₀ f(x) = f(x₀).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng:

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng (a, b).

3. Các hàm số liên tục:

Hàm đa thức.
Hàm phân thức (trừ các điểm làm mẫu bằng 0).
Hàm lượng giác.
Hàm căn thức.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→3 (x² - 9) / (x - 3)

Giải:

lim_x→3 (x² - 9) / (x - 3) = lim_x→3 (x - 3)(x + 3) / (x - 3) = lim_x→3 (x + 3) = 3 + 3 = 6

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Giải:

lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1

lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1

f(1) = 1² = 1

Vì lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Kết luận

Chương 5 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững những kiến thức này là vô cùng quan trọng để bạn có thể tiếp tục học tập và giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong môn Toán.

Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng những kiến thức đã học vào thực tế để hiểu sâu hơn về giới hạn và tính liên tục của hàm số.