Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)

b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức 1

a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bạc cao nhất.

b, Nhân với biểu thức liên hợp \(\left( {\sqrt A - B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A - {B^2}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\)

Ta có: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 1,\;\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 0\)

Suy ra \({u_n}\; = + \infty \)

b) \({v_n}\; = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\; = \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n }}\; = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} } \right)}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} }}\;\; = + \infty \)

Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm của hàm số.

I. Đề bài Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ - 3x² + 2
b) y = 2x⁴ + 5x² - 1
c) y = (x² + 1)(x - 2)
d) y = (x² - 3x + 2) / (x + 1)

II. Giải chi tiết Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

a) y = x³ - 3x² + 2

Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:

y' = (x³)' - (3x²)' + (2)'

y' = 3x² - 6x + 0

y' = 3x² - 6x

b) y = 2x⁴ + 5x² - 1

Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:

y' = (2x⁴)' + (5x²)' - (1)'

y' = 8x³ + 10x - 0

y' = 8x³ + 10x

c) y = (x² + 1)(x - 2)

Áp dụng công thức đạo hàm của tích, ta có:

y' = (x² + 1)'(x - 2) + (x² + 1)(x - 2)'

y' = (2x)(x - 2) + (x² + 1)(1)

y' = 2x² - 4x + x² + 1

y' = 3x² - 4x + 1

d) y = (x² - 3x + 2) / (x + 1)

Áp dụng công thức đạo hàm của thương, ta có:

y' = [(x² - 3x + 2)'(x + 1) - (x² - 3x + 2)(x + 1)'] / (x + 1)²

y' = [(2x - 3)(x + 1) - (x² - 3x + 2)(1)] / (x + 1)²

y' = [2x² + 2x - 3x - 3 - x² + 3x - 2] / (x + 1)²

y' = (x² + 2x - 5) / (x + 1)²

III. Lưu ý khi giải Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản: đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.
Sử dụng đúng công thức đạo hàm cho từng loại hàm số.
Kiểm tra lại kết quả sau khi tính đạo hàm.

IV. Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và các tài liệu luyện tập khác.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!