THCS
THCS
Bài 4.46 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, Kết nối tri thức, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC. a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD. b) Tính tỉ số (frac{{KC}}{{CD}}).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD.
b) Tính tỉ số \(\frac{{KC}}{{CD}}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).
Lời giải chi tiết
a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD.
mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.
Suy ra mp(P) chứa MH và MI.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap (P) = MH\\\left( {ABC} \right) \cap (BCD) = BC\end{array}\)
\( \Rightarrow \)MH//BC.
Suy ra, giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH.
Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD)
Vậy giao điểm của (P) và CD là K.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {ABD} \right) \cap (P) = MI\\\left( {ABD} \right) \cap (ACD) = AD\\(P) \cap (ACD) = HK\end{array}\)
\( \Rightarrow \)MI//AD, HK //MI
Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK
Suy ra MHKI là hình bình hành \( \Rightarrow \) MH = KI.
Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM
Suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI.
Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra \(\frac{{KC}}{{CD}} = \frac{3}{4}\).
Bài 4.46 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Phân tích bài toán:
Để giải Bài 4.46, chúng ta cần xác định các yếu tố sau:
Sau khi xác định được các yếu tố này, chúng ta có thể áp dụng các điều kiện song song, vuông góc để kết luận về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
(Phần này sẽ chứa lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và ví dụ minh họa. Lời giải sẽ được trình bày một cách logic và dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán.)
Ví dụ minh họa:
Giả sử đường thẳng d có phương trình tham số: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y - z - 2 = 0. Ta có:
Ta tính tích vô hướng của u và n: u.n = 1*1 + (-1)*1 + 2*(-1) = 1 - 1 - 2 = -2 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P).
Để kiểm tra xem d có song song với (P) hay không, ta cần kiểm tra xem u có vuông góc với n hay không. Vì u.n ≠ 0, nên d không song song với (P).
Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P). Để tìm giao điểm của d và (P), ta thay phương trình tham số của d vào phương trình của (P):
(1 + t) + (2 - t) - (3 + 2t) - 2 = 0
1 + t + 2 - t - 3 - 2t - 2 = 0
-2t - 2 = 0
t = -1
Thay t = -1 vào phương trình tham số của d, ta được giao điểm: x = 0, y = 3, z = 1. Vậy, giao điểm của d và (P) là A(0, 3, 1).
Lưu ý:
Trong quá trình giải bài toán, cần chú ý đến việc kiểm tra các điều kiện cần và đủ để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Ngoài ra, việc vẽ hình minh họa có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về bài toán và tìm ra hướng giải quyết.
Bài 4.46 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 11.
