Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Nền tảng Toán học 11
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Giới hạn của hàm số, một trong những chủ đề quan trọng nhất của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và dễ hiểu để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Bài học này sẽ đi sâu vào khái niệm giới hạn, các tính chất của giới hạn, và cách tính giới hạn của hàm số. Chúng tôi sẽ sử dụng các ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của lý thuyết này trong thực tế.
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm \({x_0}\)và hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm \({x_0}\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \({x_n} \in \left( {a;b} \right)\),\({x_n} \ne {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).
*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm
a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\)thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)
b, Nếu \(f(x) \ge 0\)với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \).
2. Giới hạn một bên
Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên phải của \(f(x)\)khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).
Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).
3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x \to + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to + \infty \).
Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là số L khi \(x \to - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì \({x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty \)ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to - \infty \).
* Nhận xét:
Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Với c là hằng số, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\).
Với k là một số nguyên dương, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{1}{{{x^k}}}) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{1}{{{x^k}}}) = 0\).
4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
a, Giới hạn vô cực
- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa \({x_0}\)và hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn là \( + \infty \)khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì, \(\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = + \infty \).
Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( - \infty \)khi \(x \to {x_0}\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = - \infty \), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - f(x)} \right] = + \infty \).
- Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty \).
Cho hàm số \(y = f(x)\)xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\)có giới hạn \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\)ta có \(f({x_n}) \to + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty \).
Các giới hạn một bên\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \) được định nghĩa tương tự.
b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
*Giới hạn của tích\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).g(x)\)
*Giới hạn của thương \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\)
Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Giới hạn của hàm số là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự biến đổi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, học sinh sẽ được làm quen với khái niệm này thông qua các bài học về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cùng, và giới hạn tại vô cùng.
1. Khái niệm Giới hạn của hàm số
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là limx→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Nói cách khác, khi x càng gần a, f(x) càng gần một giá trị L nào đó. Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a.
2. Các Tính chất của Giới hạn
- Tính duy nhất: Nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới a tồn tại, thì giới hạn đó là duy nhất.
- Tính chất cộng: limx→a [f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x)
- Tính chất nhân: limx→a [f(x) * g(x)] = limx→a f(x) * limx→a g(x)
- Tính chất chia: limx→a [f(x) / g(x)] = limx→a f(x) / limx→a g(x) (với limx→a g(x) ≠ 0)
3. Giới hạn Hữu hạn
Giới hạn hữu hạn là giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị hữu hạn. Để tính giới hạn hữu hạn, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Thay trực tiếp: Nếu f(x) là hàm số liên tục tại x = a, ta có thể thay trực tiếp x = a vào f(x) để tính giới hạn.
- Phân tích thành nhân tử: Nếu f(x) có dạng phân thức, ta có thể phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
- Sử dụng các công thức giới hạn đặc biệt: Ví dụ: limx→0 sin(x)/x = 1
4. Giới hạn Vô cùng
Giới hạn vô cùng là giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc trừ vô cùng. Để tính giới hạn vô cùng, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x: Phương pháp này thường được sử dụng khi hàm số có dạng phân thức.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt: Ví dụ: limx→∞ 1/x = 0
5. Giới hạn tại Vô cùng
Giới hạn tại vô cùng là giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cùng hoặc âm vô cùng. Nó cho biết xu hướng của hàm số khi x trở nên rất lớn.
6. Ứng dụng của Giới hạn
Lý thuyết giới hạn có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
- Tính đạo hàm: Đạo hàm của hàm số được định nghĩa dựa trên khái niệm giới hạn.
- Tính tích phân: Tích phân của hàm số cũng được định nghĩa dựa trên khái niệm giới hạn.
- Nghiên cứu sự biến đổi của hàm số: Giới hạn giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi x tiến tới một giá trị nhất định.
7. Bài tập Vận dụng
Để củng cố kiến thức về lý thuyết giới hạn, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
- Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
- Tính limx→∞ (2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1)
- Tính limx→0 sin(3x) / x
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.
