Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}};\)

b) \(B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3 - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}}.\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng công thức \({a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a};{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}};{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}.\)

Lời giải chi tiết

a) \(A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{y^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{y^{\frac{1}{6}}} + {x^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}}} = \sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{{xy}}\)

b) \(B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3 - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}} = \frac{{{x^{\sqrt 3 .\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}{{{y^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3 - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}} = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{y^2}}}.\frac{{{x^{ - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}{{{y^{ - 2}}}} = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{y^2}}}.\frac{{{y^2}}}{{{x^{\sqrt 3 + 1}}}} = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{x^{\sqrt 3 + 1}}}} = {x^{3 + \sqrt 3 - \sqrt 3 - 1}} = {x^2}\)

Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 6.4 yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ - 3x² + 2
b) y = 2x⁴ + 5x - 1
c) y = (x² + 1)(x - 2)
d) y = (x + 1) / (x - 1)

Lời giải chi tiết

a) y = x³ - 3x² + 2

Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:

y' = (x³)' - (3x²)' + (2)'

y' = 3x² - 6x + 0

y' = 3x² - 6x

b) y = 2x⁴ + 5x - 1

Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:

y' = (2x⁴)' + (5x)' - (1)'

y' = 8x³ + 5 - 0

y' = 8x³ + 5

c) y = (x² + 1)(x - 2)

Áp dụng công thức đạo hàm của tích, ta có:

y' = (x² + 1)'(x - 2) + (x² + 1)(x - 2)'

y' = (2x)(x - 2) + (x² + 1)(1)

y' = 2x² - 4x + x² + 1

y' = 3x² - 4x + 1

d) y = (x + 1) / (x - 1)

Áp dụng công thức đạo hàm của thương, ta có:

y' = [(x + 1)'(x - 1) - (x + 1)(x - 1)'] / (x - 1)²

y' = [1(x - 1) - (x + 1)(1)] / (x - 1)²

y' = (x - 1 - x - 1) / (x - 1)²

y' = -2 / (x - 1)²

Lưu ý khi giải bài tập

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Áp dụng đúng công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán.

Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Tìm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Tính tốc độ thay đổi của một đại lượng.
Giải các bài toán tối ưu hóa.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức và các tài liệu ôn tập khác.

Hy vọng lời giải chi tiết và hướng dẫn giải Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức trên đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài tập này và nắm vững kiến thức về đạo hàm.