Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 9.31 thuộc chương trình Toán 11 tập 2, sách Kết nối tri thức, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 9.31, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Đồ thị của hàm số (y = frac{a}{x}) (a là hằng số dương)
Đề bài
Đồ thị của hàm số \(y = \frac{a}{x}\) (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{x^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là
\(y - \frac{a}{{{x_0}}} = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right)\) hay \(y = \frac{{ - a}}{{x_0^2}}x + \frac{{2a}}{{{x_0}}}\)
Gọi phương trình tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B
\( \Rightarrow A\left( {0;\frac{{2a}}{{{x_0}}}} \right),B\left( {2{x_0};0} \right)\)
Do đó diện tích tam OAB bằng \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2a}}{{{x_0}}}.2{x_0}} \right| = 2a\)
Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Phân tích đề bài
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, bài tập này sẽ yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số hoặc giải một phương trình liên quan đến đạo hàm.
Lời giải chi tiết
Để giải Bài 9.31, chúng ta sẽ sử dụng các công thức và quy tắc về đạo hàm đã học. Cụ thể:
- Công thức đạo hàm của hàm số cơ bản: (xn)' = nxn-1, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (ex)' = ex, (ln x)' = 1/x
- Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương: (u ± v)' = u' ± v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v2
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
Áp dụng các công thức và quy tắc trên, chúng ta sẽ tiến hành tính đạo hàm của hàm số trong bài tập. Sau khi tính được đạo hàm, chúng ta sẽ giải phương trình hoặc thực hiện các yêu cầu khác của đề bài.
Ví dụ minh họa
Giả sử bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + sin x. Chúng ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của hàm số cơ bản và quy tắc đạo hàm của tổng để tính đạo hàm như sau:
f'(x) = (x2)' + (sin x)' = 2x + cos x
Lưu ý quan trọng
Khi giải Bài 9.31, các em cần lưu ý những điều sau:
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu.
- Sử dụng đúng công thức và quy tắc đạo hàm.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
- Luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Khảo sát hàm số: Đạo hàm giúp chúng ta xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
- Tối ưu hóa: Đạo hàm giúp chúng ta tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ứng dụng trong các bài toán tối ưu hóa.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức và kỹ năng, các em có thể giải thêm các bài tập tương tự sau:
- Bài 9.32 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 9.33 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Các bài tập vận dụng đạo hàm trong sách bài tập Toán 11 tập 2
Kết luận
Bài 9.31 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
