Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Giải Toán 11 Kết nối tri thức

I. Phép chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng

Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (P). Phép chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho AH vuông góc với (P). Kí hiệu là H = H_A.

Định nghĩa: Phép chiếu vuông góc của hình H lên mặt phẳng (P) là tập hợp tất cả các điểm H’ là hình chiếu vuông góc của các điểm H thuộc H lên (P).

II. Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng

Phép chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các điểm H’ là hình chiếu vuông góc của các điểm M thuộc d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là đường thẳng d’ đi qua chân đường vuông góc hạ từ một điểm bất kỳ trên d xuống (P).

Nếu d không vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một đường thẳng d’ cắt (P).

III. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Góc này nhỏ hơn hoặc bằng 90^o.

Để tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:

Tìm hình chiếu d’ của d lên (P).
Tìm một điểm A thuộc d.
Tìm hình chiếu A’ của A lên (P).
Tính góc giữa d và d’ (thường sử dụng tam giác vuông).

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính góc giữa đường thẳng AH và mặt phẳng (SBC).

Giải:

Gọi K là hình chiếu của A lên BC. Khi đó AK vuông góc với BC.
Vì SA vuông góc với đáy nên SA vuông góc với BC.
Suy ra BC vuông góc với (SAK).
Do đó, BC vuông góc với AH.
Vậy góc giữa AH và (SBC) là góc AHC.
Tính AH và HC để tìm góc AHC.

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (ABB’A’).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).

V. Kết luận

Bài học về phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức hình học không gian trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài kiểm tra.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập được trình bày trong bài viết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!