THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Giới hạn của dãy số, một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Đây là kiến thức nền tảng để bạn hiểu sâu hơn về giải tích và các khái niệm toán học nâng cao.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \({u_n} \to 0\) khi \(n \to + \infty \).
Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to + \infty \).
* Chú ý: Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a, Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)
b, Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to + \infty \)nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).
*Quy tắc:
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = + \infty \)(hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0,\forall n\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = + \infty \).
Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số trong dãy số tiến tới khi số lượng các số trong dãy số tăng lên vô hạn. Việc hiểu rõ khái niệm giới hạn dãy số là vô cùng quan trọng, vì nó là nền tảng cho nhiều khái niệm toán học khác như đạo hàm, tích phân, và chuỗi.
Một dãy số (un) được xác định bởi công thức tổng quát un = f(n), với n là số tự nhiên. Ví dụ, dãy số (un) = 2n + 1 là một dãy số với các số hạng 3, 5, 7, 9,...
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |un - L| < ε. Ký hiệu: limn→∞ un = L.
Ví dụ 1: Tính limn→∞ (1/n). Ta có limn→∞ (1/n) = 0.
Ví dụ 2: Tính limn→∞ (2n + 1). Ta có limn→∞ (2n + 1) = +∞.
Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:
Lý thuyết Giới hạn của dãy số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu sâu hơn về khái niệm này.
