Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập - Toán 11 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Một trong những khái niệm cơ bản và thường xuyên xuất hiện trong các bài tập là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, ví dụ minh họa và các ứng dụng thực tế của công thức này.

1. Biến cố độc lập là gì?

Trước khi đi vào công thức nhân xác suất, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Ví dụ: Tung một đồng xu hai lần. Biến cố A: “Lần tung thứ nhất xuất hiện mặt ngửa” và biến cố B: “Lần tung thứ hai xuất hiện mặt sấp” là hai biến cố độc lập.

2. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra (A và B) được tính bằng công thức:

P(A và B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A và B): Xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra.
• P(A): Xác suất của biến cố A.
• P(B): Xác suất của biến cố B.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp, không trả lại. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “Quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ” và B là biến cố “Quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.

P(A) = 5/8 (vì có 5 quả bóng đỏ trên tổng số 8 quả bóng)

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy một quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trên tổng số 7 quả bóng)

Do đó, P(A và B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt 6.

Giải:

Gọi A là biến cố “Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6” và B là biến cố “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6”.

P(A) = 1/6

P(B) = 1/6

Vì hai lần gieo xúc xắc là độc lập, nên P(A và B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

4. Ứng dụng của công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Thống kê: Tính toán xác suất của các sự kiện trong các cuộc khảo sát, nghiên cứu.
• Bảo hiểm: Đánh giá rủi ro và tính phí bảo hiểm.
• Tài chính: Phân tích rủi ro đầu tư.
• Khoa học: Nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về công thức nhân xác suất, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Một túi chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng từ túi, có trả lại. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu trắng.
2. Một người bắn súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng cả 3 phát.
3. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

6. Kết luận

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập là một công cụ quan trọng trong việc tính toán xác suất của các sự kiện liên tiếp. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành giải các bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất.