Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}};\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng quy tắc \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
- Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết
a) \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {x + 2} \right) - 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
b) \(y = \frac{{\left( {2x} \right)'\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Nội dung bài tập
Bài 9.7 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
- Tính đạo hàm f'(x).
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
1. Tính đạo hàm f'(x)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số đa thức, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Để xác định xem các điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu, ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định:
- Khi x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Giá trị cực đại là f(0) = 2.
Giá trị cực tiểu là f(2) = 23 - 3(22) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.
3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Dựa vào dấu của f'(x), ta có:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
4. Vẽ đồ thị hàm số
Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định các điểm đặc biệt như:
- Điểm cực đại: (0; 2)
- Điểm cực tiểu: (2; -2)
- Giao điểm với trục Oy: (0; 2)
- Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình x3 - 3x2 + 2 = 0. Ta thấy x = 1 là một nghiệm, do đó ta có thể phân tích thành (x - 1)(x2 - 2x - 2) = 0. Vậy, x = 1 hoặc x = 1 ± √3. Các giao điểm với trục Ox là (1; 0), (1 + √3; 0), (1 - √3; 0).
Dựa vào các điểm này và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
Kết luận
Bài 9.7 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức đã được giải chi tiết. Hy vọng rằng lời giải này sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức này là rất quan trọng để học tốt môn Toán 11 và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.
Học sinh nên tự mình thực hành giải các bài tập tương tự để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Các bài tập tương tự
- Bài 9.8 trang 94 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bài 9.9 trang 95 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
