Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Trong chương VIII của sách Toán 11 Kết nối tri thức tập 2, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu về các loại biến cố đặc biệt, bao gồm biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc hiểu rõ các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu là A ∪ B) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B cùng xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B (ký hiệu là A ∩ B) là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Nói cách khác, A ∩ B chỉ xảy ra khi cả A và B đều đồng thời xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập thì: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó:

• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(B|A): Xác suất của biến cố B khi biết A đã xảy ra
• P(A|B): Xác suất của biến cố A khi biết B đã xảy ra

3. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Để kiểm tra tính độc lập của hai biến cố, ta có thể sử dụng công thức:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) ⇔ A và B độc lập

P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) ⇔ A và B không độc lập

Ví dụ minh họa

Xét một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Chúng ta lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp mà không hoàn lại.

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”.

Tính P(A ∩ B) và xác định xem A và B có độc lập hay không?

Giải:

P(A) = 3/5

P(B|A) = 2/4 = 1/2 (vì sau khi lấy 1 quả đỏ, còn lại 2 quả đỏ và 2 quả xanh)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (3/5) * (1/2) = 3/10

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (P(B) = 3/5), nên A và B không độc lập.

Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
2. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.6, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.
3. Một hộp chứa 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Tính xác suất để cả hai sản phẩm đều là sản phẩm lỗi.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Chúc các em học tập tốt!