Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s
Đề bài
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức \(h = 19,6t - 4,9{t^2}.\) Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right),\) trong đó \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(f'\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{19,6t - 4,9{t^2} - 19,6{t_0} + 4,9t_0^2}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{ - 4,9\left( {{t^2} - t_0^2} \right) + 19,6\left( {t - {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left( { - 4,9t - 4,9{t_0} + 19,6} \right)}}{{t - {t_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( { - 4,9t - 4,9{t_0} + 19,6} \right) = - 9,8{t_0} + 19,6\)
Vậy hàm số \(h = 19,6t - 4,9{t^2}\) có đạo hàm là hàm số \(h' = - 9,8{t_0} + 19,6\)
Độ cao của vật khi nó chạm đất thỏa mãn \(19,6t - 4,9{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.\)
Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là \( - 9,8.4 + 19,6 = - 19,6\) (m/s)
Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là -19,6 m/s.
Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và khảo sát hàm số.
Nội dung bài tập 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài tập yêu cầu học sinh xét một tình huống thực tế, ví dụ như một vật thể chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian. Dựa vào thông tin về vận tốc, học sinh cần tính toán các đại lượng liên quan như quãng đường đi được, gia tốc, và thời điểm vật thể đạt vận tốc cực đại hoặc cực tiểu.
Hướng dẫn giải bài tập 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Bước 1: Xác định hàm số vận tốc v(t): Dựa vào thông tin đề bài, xác định hàm số biểu diễn vận tốc của vật thể theo thời gian t.
- Bước 2: Tính đạo hàm của hàm vận tốc v'(t): Đạo hàm của hàm vận tốc chính là gia tốc a(t) của vật thể. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm a(t).
- Bước 3: Tìm các điểm cực trị của hàm vận tốc: Giải phương trình v'(t) = 0 để tìm các thời điểm t mà tại đó vận tốc đạt cực đại hoặc cực tiểu.
- Bước 4: Xác định loại cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai v''(t) để xác định xem các điểm cực trị tìm được là cực đại hay cực tiểu.
- Bước 5: Tính toán các đại lượng yêu cầu: Dựa vào các kết quả đã tìm được, tính toán các đại lượng như quãng đường đi được, vận tốc cực đại, vận tốc cực tiểu, và thời điểm đạt các giá trị này.
Ví dụ minh họa giải bài tập 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Giả sử vận tốc của một vật thể chuyển động được mô tả bởi hàm số v(t) = 3t2 - 6t + 5 (m/s). Hãy tìm gia tốc của vật thể tại thời điểm t = 2 giây.
Giải:
- Bước 1: Tính đạo hàm của hàm vận tốc: a(t) = v'(t) = 6t - 6 (m/s2)
- Bước 2: Tính gia tốc tại thời điểm t = 2 giây: a(2) = 6(2) - 6 = 6 (m/s2)
Vậy gia tốc của vật thể tại thời điểm t = 2 giây là 6 m/s2.
Lưu ý khi giải bài tập 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ các thông tin đã cho và yêu cầu của bài tập.
- Nắm vững các khái niệm và công thức về đạo hàm.
- Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, lực, và năng lượng.
- Kinh tế: Tính chi phí biên, doanh thu biên, và lợi nhuận biên.
- Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển, tối ưu hóa các quy trình sản xuất.
- Khoa học máy tính: Xây dựng các thuật toán học máy và trí tuệ nhân tạo.
Việc hiểu và vận dụng đạo hàm một cách thành thạo là rất quan trọng đối với học sinh trong quá trình học tập và làm việc sau này.
Tổng kết
Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
