Bài 6. Cấp số cộng

Bài 6. Cấp số cộng - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải pháp toàn diện

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng. Việc hiểu rõ về cấp số cộng là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và tiến tới các khái niệm phức tạp hơn trong toán học.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• d là công sai của cấp số cộng
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S_n) được tính theo công thức:

S_n = (n/2) * (u₁ + u_n) hoặc S_n = (n/2) * [2u₁ + (n - 1)d]

4. Các tính chất của cấp số cộng

• Nếu u_n = u_m thì u_n+k = u_m+k với mọi số nguyên k.
• Nếu u_n = u_m thì u_n+k + u_m-k = 2u_n với mọi số nguyên k sao cho 1 ≤ k ≤ min(n, m).

5. Ví dụ minh họa

Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = (5/2) * (u₁ + u₅) = (5/2) * (2 + 14) = 40

6. Bài tập áp dụng

Hãy giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về cấp số cộng:

1. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có u₁ = 1 và d = 2.
2. Tìm công sai của cấp số cộng có u₂ = 5 và u₅ = 11.
3. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có u₁ = 3 và d = 4.

7. Ứng dụng của cấp số cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính số tiền tiết kiệm theo thời gian với lãi suất cố định.
• Tính chiều dài các cạnh của một hình vuông hoặc hình chữ nhật khi tăng dần theo một quy luật nhất định.
• Dự đoán số lượng dân số hoặc sản lượng nông nghiệp trong tương lai.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cấp số cộng. Chúc các em học tập tốt!