Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số của chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết các kiến thức quan trọng về dãy số, giúp bạn hiểu rõ bản chất và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.
Dãy số là một khái niệm nền tảng trong toán học, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững lý thuyết dãy số sẽ giúp bạn xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
1. Định nghĩa dãy số
1. Định nghĩa dãy số
- Dãy số vô hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu là \(u = u\left( n \right)\).
Ta thường viết \({u_n}\) thay cho \(u\left( n \right)\) và kí hiệu dãy số \(u = u\left( n \right)\)bởi \(u\left( n \right)\), do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)
Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.
- Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).
Số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
Một dãy số có thể cho bằng:
- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
- Công thức của số hạng tổng quát.
- Phương pháp mô tả.
- Phương pháp truy hồi.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi phần tử trong dãy số được gọi là một số hạng của dãy số. Dãy số thường được ký hiệu là (un), trong đó un là số hạng thứ n của dãy số.
1. Khái niệm dãy số
Một dãy số (un) được gọi là xác định khi mỗi số hạng un được xác định duy nhất với mỗi n thuộc tập hợp các số tự nhiên N hoặc một tập hợp con của N.
2. Các loại dãy số thường gặp
- Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng số hạng là hữu hạn. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5.
- Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng số hạng là vô hạn. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, ...
- Dãy số tăng: Dãy số mà mỗi số hạng lớn hơn hoặc bằng số hạng đứng trước nó.
- Dãy số giảm: Dãy số mà mỗi số hạng nhỏ hơn hoặc bằng số hạng đứng trước nó.
3. Cách xác định dãy số
Có nhiều cách để xác định một dãy số:
- Bằng công thức tổng quát: un = f(n), trong đó f(n) là một hàm số của n. Ví dụ: un = 2n + 1.
- Bằng phương pháp đệ quy: Xác định số hạng đầu tiên u1 và công thức tính số hạng thứ n+1 thông qua số hạng thứ n. Ví dụ: u1 = 1, un+1 = un + 2.
- Bằng cách liệt kê các số hạng: Liệt kê các số hạng của dãy số theo thứ tự. Ví dụ: 1, 3, 5, 7, ...
4. Dãy số đặc biệt: Cấp số cộng và cấp số nhân
a. Cấp số cộng
Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước cộng với một số không đổi d, gọi là công sai. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: un = u1 + (n-1)d.
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Sn = n/2 * (u1 + un) = n/2 * [2u1 + (n-1)d].
b. Cấp số nhân
Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi q, gọi là công bội. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: un = u1 * q(n-1).
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
- Nếu q = 1: Sn = n * u1
- Nếu q ≠ 1: Sn = u1 * (1 - qn) / (1 - q)
5. Giới hạn của dãy số
Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Ký hiệu: limn→∞ un = L.
Nếu giới hạn của dãy số là một số thực L, ta nói dãy số hội tụ về L. Nếu giới hạn của dãy số không tồn tại, ta nói dãy số phân kỳ.
6. Bài tập ví dụ
Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3.
Giải: u10 = u1 + (10-1)d = 2 + 9 * 3 = 29.
Bài 2: Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 2.
Giải: S20 = u1 * (1 - q20) / (1 - q) = 1 * (1 - 220) / (1 - 2) = 220 - 1 = 1048575.
Hy vọng với những kiến thức về lý thuyết dãy số này, bạn sẽ có thêm công cụ để giải quyết các bài toán toán học một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
