Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 22 thuộc Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian, tập trung vào việc xác định điều kiện để hai đường thẳng trong không gian vuông góc với nhau. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn.

1. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định hai đường thẳng vuông góc, ta thường sử dụng vector chỉ phương của chúng. Cụ thể:

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vector chỉ phương lần lượt là a và b.
d₁ ⊥ d₂ ⇔ a ⋅ b = 0 (tích vô hướng của hai vector bằng 0).

2. Tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Khi hai đường thẳng vuông góc, chúng có những tính chất đặc biệt:

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB.

AB = (4-1; 5-2; 6-3) = (3; 3; 3)

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d₁ có vector chỉ phương a = (1; -2; 3) và đường thẳng d₂ có vector chỉ phương b = (2; 1; 0). Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không.

a ⋅ b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0

Vậy, hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau.

4. Bài tập áp dụng

Cho hai điểm C(0; 1; -2) và D(3; -1; 0). Tìm vector chỉ phương của đường thẳng CD.
Cho đường thẳng d₃ có vector chỉ phương c = (-1; 0; 2) và đường thẳng d₄ có vector chỉ phương d = (3; -1; 1). Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không.