THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tại montoan.com.vn. Đạo hàm là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, mở ra cánh cửa để hiểu sâu hơn về sự thay đổi và tốc độ biến thiên của hàm số.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách tiếp cận toàn diện, từ định nghĩa cơ bản đến ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
- Định nghĩa:Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\).
- Cách viết khác của định nghĩa:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\).
- Quy tắc tính đọa hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:
Bước 1: Tính \(f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in \left( {a;b} \right),x \ne {x_0}\).
Bước 3: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\) nếu đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) tồn tại.
- Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\) là:
\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).
4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t là v(t) = s’(t).
Đạo hàm là một khái niệm then chốt trong chương trình Toán 11, đặc biệt là chương trình Kết nối tri thức. Nó không chỉ là một công cụ tính toán mà còn là nền tảng để hiểu sâu hơn về sự biến thiên của hàm số và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác.
Giả sử hàm số f(x) được xác định trên khoảng (a; b). Nếu tồn tại giới hạn:
limh→0 [f(x + h) - f(x)] / h
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x).
Lưu ý:
Như đã đề cập, đạo hàm f'(x) tại điểm x biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x.
Nếu f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) = 0, hàm số có thể đạt cực trị tại điểm x (điểm dừng).
Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc và gia tốc.
Nếu s(t) là hàm biểu diễn quãng đường đi được của một vật tại thời điểm t, thì:
Để tính đạo hàm một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc sau:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1
f'(x) = (3x2)' + (2x)' - (1)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(2x)
f'(x) = cos(2x) * (2x)' = 2cos(2x)
Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
