THCS
THCS
Bài 1.34 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học phẳng.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập hiệu quả.
Giải các phương trình sau:
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
b) \(2{\sin ^2}x - 1 + \cos 3x = 0\);
c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:
\(\sin x = m\; \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)
\(\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = - \alpha + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\;\)
\(\tan x = m\; \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{3x - \frac{\pi }{4} = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = \pi + k2\pi }\\{3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(2{\sin ^2}x - 1 + \cos 3x = 0\;\;\;\;\; \Leftrightarrow -\cos 2x + \cos 3x = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 3x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\5x = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{k2\pi }}{5}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \right.\end{array}\)
c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\;\; \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{5} = x - \frac{\pi }{6} + k\pi \;\;\; \Leftrightarrow x = - \frac{{11\pi }}{{30}} + k\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 1.34 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán vectơ và các tính chất của trung điểm, trọng tâm.
Bài tập 1.34 bao gồm các câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh chứng minh các đẳng thức vectơ sau:
Câu a: Chứng minh rằng OA + OB = 2OM, với M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu b: Chứng minh rằng GA + GB + GC = 0, với G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu c: Chứng minh rằng OA + OB + OC = 3OG, với G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có AM = MB. Do đó, OM = OA + AM = OB - BM. Từ đó suy ra OA + OB = OA + (OA + AM) + (OB - BM) = 2OA + AM - BM = 2OA (vì AM = -BM). Tuy nhiên, cách tiếp cận này chưa chính xác. Cách giải đúng như sau:
Ta có OM = (OA + OB)/2 (theo tính chất trung điểm). Nhân cả hai vế với 2, ta được 2OM = OA + OB. Vậy, OA + OB = 2OM.
Theo định nghĩa trọng tâm, ta có GA = 2/3 * AD, GB = 2/3 * BE, GC = 2/3 * CF, với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Ta biết rằng AD + BE + CF = 0 (tính chất của trung tuyến trong tam giác). Do đó, GA + GB + GC = 2/3 * (AD + BE + CF) = 2/3 * 0 = 0.
Ta có OG = (OA + OB + OC)/3 (theo định nghĩa trọng tâm). Nhân cả hai vế với 3, ta được 3OG = OA + OB + OC. Vậy, OA + OB + OC = 3OG.
Nắm vững các định nghĩa, tính chất của vectơ.
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân vectơ với một số thực.
Vận dụng các tính chất của trung điểm, trọng tâm, đường trung bình của tam giác.
Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.
Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Vectơ được sử dụng để:
Biểu diễn các điểm, đường thẳng, đoạn thẳng.
Chứng minh các đẳng thức hình học.
Tính diện tích, thể tích.
Giải các bài toán về quỹ tích.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập 1.34 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tốt!
