Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - Toán 11 Kết nối tri thức

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin quan trọng về độ cong của đồ thị hàm số và tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một.

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x), là đạo hàm của f'(x). Tức là: f''(x) = (f'(x))'.

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai cho ta biết:

Độ lồi - lõm của đồ thị hàm số:

Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn.

Tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một:

Đạo hàm cấp hai cho biết đạo hàm cấp một đang tăng hay giảm. Điều này giúp ta xác định các điểm cực trị của hàm số.

3. Cách tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ - 3x² + 2x + 1.

Giải:

f'(x) = 3x² - 6x + 2
f''(x) = 6x - 6

Ví dụ 2: Tìm khoảng mà hàm số y = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 lồi và lõm.

Giải:

f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4
f''(x) = 12x² - 24x + 12 = 12(x - 1)²

Vì f''(x) ≥ 0 với mọi x, hàm số lồi trên toàn bộ tập số thực.

5. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
Phân tích sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm cấp hai giúp ta xác định các khoảng mà hàm số lồi hoặc lõm, từ đó vẽ được đồ thị hàm số chính xác hơn.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Trong một số trường hợp, đạo hàm cấp hai có thể được sử dụng để tìm các điểm cực trị của hàm số.