Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và phân tích chuyên sâu

Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, trước hết chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm trên một khoảng, và các quy tắc tính đạo hàm.

Phần 1: Tóm tắt lý thuyết cần thiết

Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

• Đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀ được ký hiệu là f'(x₀) và được định nghĩa là giới hạn của tỷ số \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} khi \Delta x tiến tới 0.
• Quy tắc tính đạo hàm: Có nhiều quy tắc tính đạo hàm khác nhau, bao gồm quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
• Ứng dụng của đạo hàm: Đạo hàm được sử dụng để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, tìm cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.

Phần 2: Giải chi tiết Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2

Để giải Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài để xác định hàm số cần khảo sát.
2. Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp nhất của hàm số.
3. Tìm điểm dừng: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng của hàm số.
4. Khảo sát sự biến thiên: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
5. Tìm cực trị: Sử dụng tiêu chuẩn xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
6. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các kết quả khảo sát để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ, giả sử Bài 3 yêu cầu khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. Hàm số: y = x^3 - 3x^2 + 2
2. Đạo hàm: y' = 3x^2 - 6x
3. Điểm dừng: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Khảo sát sự biến thiên:
• Khi x < 0, y' > 0 => Hàm số đồng biến trên (-\infty, 0)
• Khi 0 < x < 2, y' < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2)
• Khi x > 2, y' > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, \infty)
5. Cực trị:
• Tại x = 0, hàm số đạt cực đại: y = 2
• Tại x = 2, hàm số đạt cực tiểu: y = -2

Phần 3: Luyện tập và mở rộng

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, bạn có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của đạo hàm trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Phần 4: Kết luận

Bài 3 trang 105 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu sắc về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả.